Формальний степеневий ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

в якому коефіцієнти належать деякому кільцю . На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Алгебраїчні операції[ред.ред. код]

В можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

Тоді:

(при цьому необхідно щоб )

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія[ред.ред. код]

В множині також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

де k найменше натуральне число таке що akbk;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи[ред.ред. код]

Формальний ряд:

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a0 є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний , і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

Властивості[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]