Критерій стійкості Рауса

Крите́рій сті́йкості Ра́уса — один з методів аналізу лінійної стаціонарної динамічної системи на стійкість. Поряд з критерієм Гурвиця (який часто називають критерієм Рауса-Гурвиця) є представником сімейства алгебраїчних критеріїв стійкості, на відміну від частотних критеріїв, таких як критерій стійкості Найквіста. До переваг методу відносяться проста реалізація на ЕОМ, а також простота аналізу для систем невеликого (до 3) порядку.

До недоліків можна віднести ненаглядність методу, по ньому складно судити про ступінь стійкості, про її запас.

Формулювання

Метод працює з коефіцієнтами характеристичного рівняння системи. Нехай $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ — передавальна функція системи, а $\ U(s)=0$ — характеристичне рівняння системи. Уявимо характеристичний поліном $\ U(s)$ у вигляді: $\ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}$ Критерій Рауса являє собою алгоритм, за яким складається спеціальна таблиця, в якій записуються коефіцієнти характеристичного полінома таким чином, що:

1. в першому рядку записуються коефіцієнти характеристичного рівняння з парними індексами в порядку їх зростання
2. у другому рядку — з непарними
3. інші елементи таблиці визначається за формулою: $\ c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1}$, де $r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3$ — номер рядка, $\ k$ — номер стовпчика
4. число рядків таблиці Рауса на одиницю більше порядку характеристичного рівняння

Таблиця Рауса:

$\ ri$	$\Downarrow i\Longrightarrow k$	1	2	3	4
-	1	$\ c_{1,1}=a_{0}$	$\ c_{2,1}=a_{2}$	$\ c_{3,1}=a_{4}$	...
-	2	$\ c_{1,2}=a_{1}$	$\ c_{2,2}=a_{3}$	$\ c_{3,2}=a_{5}$	...
$r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}$	3	$c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2}$	$c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2}$	$c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2}$	...
$r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}$	4	$c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3}$	$c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3}$	$c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Формулювання критерію Рауса:

Для стійкості лінійної стаціонарної системи необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти першого стовпчика таблиці Рауса $\ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...$ були одного знаку. Якщо це не виконується, то система нестійка.

Див. також

• Стійкість систем автоматичного регулювання
• Критерій стійкості Гурвиця
• Критерій стійкості Михайлова
• Критерій стійкості Найквіста
• Критерій абсолютної стійкості В.М.Попова

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2. — К.: Головна редакція УРЕ, 1973. — 584 с.
• Папушин Ю. Л., Білецький В. С. Основи автоматизації гірничого виробництва. — Донецьк : Східний видавничий дім, 2007. — 168 с. — ISBN 978-966-317-004-6.