Перетворення Боголюбова

Перетворення Боголюбова — унітарне перетворення, що дозволяє перейти від одного набору операторів народження та знищення до іншого і застосовується здебільшого для діагоналізації гамільтоніана. Перетворення названі на честь Миколи Миколайовича Боголюбова.

Нехай задані оператори народження і знищення із комутаційним співвідношенням:

$[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]$ = 1,

де квадратні дужки означають комутатор для бозонів або антикомутатор для ферміонів

Перехід до нових операторів здійснюється унітарним перетоворенням:

${\hat {a}}^{\prime }=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }$

${\hat {a}}^{\prime \dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}$.

де u та v - комплексні числа. Тоді при виконанні умови

$|u|^{2}\mp |v|^{2}=1$,

нові оператори задовільнятимуть комутаційним співвідношенням

$[{\hat {a}}^{\prime \dagger },{\hat {a}}^{\prime }]$ = 1.

Знак мінус відповідає бозонам, плюс — ферміонам. При виконанні зазначеної умови при виборі чисел u та v залишається довільність, яку можна використати для інших цілей.

Джерела

• Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский (1978). Теоретическая физика. IX. Статистическая физика, часть 2. Теория конденсированого состояния (російська) . Москва: Наука. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)