Оператори народження та знищення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення  \hat{a} \, відповідає оператор народження  \hat{a}^\dagger .

Ферміони[ред.ред. код]

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан | 0 \rangle , який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією  \psi :

 \hat{a}^\dagger | 0 \rangle  = |\psi \rangle .

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки  | \psi \rangle  , знищує частинку, переводячи систему в стан  | 0 \rangle .

 \hat{a} |\psi\rangle = |0 \rangle .

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

 \hat{a} | 0 \rangle = 0 .

Відповідно, дія оператора народження на стан  |\psi \rangle , теж дає нуль.

 \hat{a}^\dagger |\psi\rangle = 0 .

Оператор народження й знищення задовлільняють наступному антикомутаційному співвідношенню

 \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger = 1 .

Оператор числа частинок задається виразом

 \hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a} .

Вочевидь

 \hat{N} |0\rangle = 0; \qquad \hat{N} |\psi \rangle = 1 |\psi \rangle.

Різні стани[ред.ред. код]

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис  \psi_n = |n \rangle  . Оператори народження й знищення  \hat{a}_n^\dagger і  \hat{a}_n для різних станів комутують між собою.

 \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime} -   \hat{a}_{n^\prime} \hat{a}^\dagger_n = 0 при  n \neq n^\prime .

Будь-який квантовомеханічний оператор  \hat{A} можна записати у вигляді

 \hat{A} = \sum_{n,n^\prime} A_{n,n^\prime} \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime} ,

де

 A_{n, n^{\prime}} = \langle n | \hat{A} | n^\prime \rangle  — матричний елемент оператора.

Гамільтоніан[ред.ред. код]

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану  \hat{H}_0 :

 \hat{H}_0 | n \rangle = E_n | n \rangle .

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

 \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} ,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

 \hat{H} = \sum_n E_n \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_n + \sum_{n,n^\prime} V_{n,n^\prime} \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime}

Бозони[ред.ред. код]

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є кватновим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану  | n \rangle можна ввести оператор кількості частинок  \hat{N} , виходячи із співвідношення

 \hat{N}| n \rangle  = n | n \rangle .

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

 \hat{N} = a^\dagger a .

Нульовий (вакуумний) стан  | 0 \rangle відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

 a^\dagger| 0  \rangle = | 1  \rangle .

Відповідно,  a | 1  \rangle = | 0  \rangle .

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

 [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = 1 .


Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

 \hat{H} = \sum_{\mathbf{k}} \hbar \omega_{\mathbf{k}} 
\left( a^\dagger_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k}}  + \frac{1}{2} \right)  ,

де  \hbar  — зведена стала Планка,  \mathbf{k}  — хвильовий вектор,  \omega_{\mathbf{k}}  — частота хвилі з хвильовим вектором  \mathbf{k} . Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.


Джерела[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.