Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.
Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:
![{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07f84dc349f57d5548adf94ba82c990c37a67c4)
де
і
— кількість нулів і полюсів функції
в області обмеженій
, з врахуванням кратності.
Якщо точка
є нулем порядку n функції
тоді можна записати
, і функція
є голоморфною в точці
і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо
![{\displaystyle f'(z)=(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edbdfdffeba5c6e5cbd4382880e08afe4c9f6dc)
Поділивши на f одержуємо:
.
Отже
має простий полюс в точці
і лишок в цій точці рівний:
![{\displaystyle Res\left({f'(z) \over f(z)},z_{0}\right)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})\left[{\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}\right]=\lim _{z\to z_{0}}\left[(z-z_{0}){\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+n\right]=0+n=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08f59b9f18d74393a64dc04defb0785c894cf9c)
що рівно порядку нуля.
Якщо точка
є полюсом порядку m, то
де функція
є голоморфною в точці
і не дорівнює в ній нулю.
Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:
![{\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={\frac {g'(z)}{g(z)}}+{\frac {-m}{z-z_{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2e893bc8ce44602e4f21e714a42048a7631fcc)
і лишок в цій точці буде рівним
Нехай тепер
— нулі функції f порядків
і
— полюси функції f порядків
Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції
лишки в яких рівні відповідно
і
Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:
![{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07f84dc349f57d5548adf94ba82c990c37a67c4)
- Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
- Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1
- Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-1437-2