Лишок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай функція має ізольовану особливу точку однозначного характеру (або регулярна у цій точці). При скінченному лишком функції у точці називається величина

Оскільки  — будь-яке достатньо мале додатне число, а  — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Не складно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції по степеням в ряд Лорана є лишком цієї функції:

Лишок у «нескінченності»[ред.ред. код]

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , тоді лишком у нескінченності називається число

,

де  — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

Логарифмічний лишок[ред.ред. код]

Інтеграл виду

називається логарифмічним лишком функції відносно контура С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

Методи обчислення лишків[ред.ред. код]

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка[ред.ред. код]

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

Полюс[ред.ред. код]

  • Простий полюс у точці :
  • Полюс кратності n у точці :

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: , і , то:

Істотно особлива точка[ред.ред. код]

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

Розвинемо та в ряд Лорана:

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.