Лишок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай функція f(z)\, має ізольовану особливу точку однозначного характеру z=a\, (або регулярна у цій точці). При скінченному a\, лишком функції f(z)\, у точці z=a\, називається величина

 \mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=\frac {1}{2\pi i} \oint_{|z-a|=\varrho} f(z)dz

Оскільки \varrho\, — будь-яке достатньо мале додатне число, а f(z)\, — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Не складно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції f(z)\, по степеням z-a\, в ряд Лорана є лишком цієї функції:

 \mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=C_{-1}\,

Лишок у «нескінченності»[ред.ред. код]

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка z=\infty\, є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції f(z)\,, тоді лишком у нескінченності називається число

 \mathrm{res}_\infty f(z)=-\frac {1}{2\pi i} \oint_{|z|=R} f(z)dz ,

де R\, — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

 \mathrm{res}_\infty f(z)=-C_{-1}\,

Логарифмічний лишок[ред.ред. код]

Інтеграл виду

 \frac {1}{2\pi i} \oint_{C} \frac {f'(z)}{f(z)}dz

називається логарифмічним лишком функції f(z)\, відносно контура С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

 \frac {1}{2\pi i} \oint_{C} \frac {f'(z)}{f(z)}dz =\frac {1}{2\pi i} \oint_{C} (\mathrm{Ln}(f(z))'dz=\frac {1}{2\pi i} \mathrm{Ln}(f(z))_C= \frac {1}{2\pi i} (\ln|f(z)|+i\mathrm{arg}f(z))_C=\frac {1}{2\pi} \Delta_C \mathrm{arg} f(z)

Методи обчислення лишків[ред.ред. код]

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка[ред.ред. код]

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

\mathrm{res}_\infty f(z)=-C_{-1}=\lim_{z \to \infty} [z(f(\infty)-f(z))]

Полюс[ред.ред. код]

 \mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=\lim_{z \to a} (f(z)(z-a))
  • Полюс кратності n у точці z=a\,:
 \mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)={1\over(n-1)!}\lim_{z\to a}{{d^{(n-1)}\over dz^{(n-1)}}[f(z)(z-a)^n]}

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: f(z)=\frac {g(z)}{h(z)}, і h(a)=0, h'(a) \ne 0 \,, то:

 \mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=\frac {g(a)}{h'(a)}

Істотно особлива точка[ред.ред. код]

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

f(z)=(2z-1)\cos \frac {z}{z-1}=(2(z-1)+1)\cos \left (1+\frac {1}{z-1} \right)=(2(z-1)+1)(\cos1\cos\frac {1}{z-1}-\sin1\sin\frac {1}{z-1})

Розвинемо \cos \frac {1}{z-1}\, та \sin\frac {1}{z-1}\, в ряд Лорана:

\cos\frac {1}{z-1}=1-\frac{1}{2! (z-1)^2}+\frac{1}{4! (z-1)^4}-...
\sin\frac {1}{z-1}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{3! (z-1)^3}+\frac{1}{5! (z-1)^5}-...

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

\mathrm{res}_{z=1}=C_{-1}=-\cos1-\sin1\,

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.