Прямокутний трикутник: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Переписав теорему про висоту прімокутного трикутника та написав доведення. Також додав ілюстрацію до теореми |
|||
Рядок 75: | Рядок 75: | ||
: <math>r= \frac {a+b-c} {2}</math> |
: <math>r= \frac {a+b-c} {2}</math> |
||
⚫ | |||
== Висота == |
|||
[[Файл:Висота в прямокутному трикутнику.png|праворуч|350x350пкс]] |
|||
⚫ | |||
Нехай <math>h</math> — висота прямокутного трикутника <math>ABC</math>, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки <math>m</math> та <math>n</math>, які є проекціями катетів <math>a</math> та <math>b</math> на гіпотенузу <math>c</math> відповідно. |
|||
Тоді справделиві наступні рівності: |
|||
# <math>h ^ 2 = n {\cdot} m</math> |
|||
# <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math> |
|||
# <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math> |
|||
# <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math> |
|||
'''''Доведення'''''. Трикутники <math>ACH</math>, <math>BCH</math> та <math>ABC</math> подібні між собою. |
|||
З подібності трикутників <math>ACH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{a}=\frac{b}{c}=\frac{n}{b}</math>. Звідси випливає, що <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math> та <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math>. |
|||
Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу. |
|||
З подібності трикутників <math>BCH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{b}=\frac{a}{c}=\frac{m}{a}</math>. Звідси випливає, що <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>. |
|||
:<math>\displaystyle f^2=de,</math> |
|||
:<math>\displaystyle b^2=ce,</math> |
|||
:<math>\displaystyle a^2=cd</math> |
|||
Оскільки <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math> та <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>, то, перемноживши між собою правді та ліві частини рівностей, одержимо <math>h^2=\frac{a {\cdot} n}{b} {\cdot} \frac{b {\cdot} m}{a}=m{\cdot}n</math>. |
|||
де ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'' такі, як позначено на малюнку. Тоді висоту можна записати через сторони трикутника: |
|||
:<math>f=\frac{ab}{c} \ </math> або через катети |
|||
Таким чином доведено всі чотири рівності. |
|||
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.</math> |
|||
== Джерела == |
== Джерела == |
||
* Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1 |
* Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1 |
Версія за 11:15, 30 червня 2016
Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.
Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За цією теоремою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.
Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:
- .
Властивості прямокутних трикутників
- Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
- Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.
- Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
- Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
- Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.
Ознаки рівності прямокутних трикутників
У прямокутного трикутника є чотири ознаки рівності:
- За двома катетами.
Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
- За катетом і гострим кутом.
Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
- За гіпотенузою і катетом.
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого трикутника, то такі трикутники рівні.
- За гіпотенузою і гострим кутом.
Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Тригонометрія у прямому трикутнику
Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.
- Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
- Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
- Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
- Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.
Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.
- звідси
- звідси
- звідси
- звідси
Звідси можна зробити висновок, що:
- Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.
- Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.
- Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.
Вписане й описане коло прямокутного трикутнику
Описане коло
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Нехай — центр описаного кола навколо прямокутного ABC
Вписане коло
з прямим кутом вписане коло, яке дотикається до катетів у точках і . Відрізки і дорівнюють радіусу кола.
Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами і і гіпотенузою знаходиться за формулою:
Теорема про висоту прямокутного трикутника
Нехай — висота прямокутного трикутника , опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки та , які є проекціями катетів та на гіпотенузу відповідно. Тоді справделиві наступні рівності:
Доведення. Трикутники , та подібні між собою.
З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що та . Також звідси випливає рівність .
З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що . Також звідси випливає рівність .
Оскільки та , то, перемноживши між собою правді та ліві частини рівностей, одержимо .
Таким чином доведено всі чотири рівності.
Джерела
- Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
- О. М. Роганін, О. І. Каплун. Математика. — Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
- М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. Геометрія 7 клас. — Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6
Див. також
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |