Струм ймовірності

В квантовій механіці, струм ймовірності (або потік ймовірності) описує зміни функції щільності ймовірності.

Визначення

Струм ймовірності ${\vec {j}}$ визначається як

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi )$

та задовліьняє квантово-механічне рівняння неперервності

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$

зі щільністю ймовірності $\rho$, заданою

$\rho =|\Psi |^{2}$.

Рівняння неперевності є еквівалетним наступному інтегральному рівнянню:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}=0$

де $V$ — объём и $S$ − межа об'єму $V$. Це закон збуреження для щільності ймовірності в квантовій механіці.

Зокрема, якщо $\Psi$ — хвильова функція окремої частинки, інтеграл в першому доданку попереднього рівняння (без похідної по часу) — ймовірність отримання значення в межах $V$, коли стан частинки виміряно. Другий доданок — швидкість, з якою ймовірність «витікає» з об'єму $V$.

Загалом рівняння свідсить, що похідна по часу ймовірності знаходження частинки в $V$ дорівнює швидкості, по якій ймовірність «витікає» з $V$.

Приклади

Плоска хвиля

Струм ймовірності, який можна зіставити плоскій хвилі

$\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{i\omega t}$

запишеться у вигляді

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.$

Це частка квадрата амплітуди на швидкість частинки:

${\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}$.

Зауважте, що струм ймовірності є відмінним від нуля не дивлячись, на те, що плоскі хвилі це стаціонарний стан і отже

${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0$

всюди. Це демонструє, що частинка може рухатись, навіть якщо її площинна щільність ймовірності не має ніякої явної залежності від часу.

Частинка в ящику

Для одновимірного ящика з нескінченним стінками довжиною $L$ ($0<x<L$), хвильові функції запишуться у вигляді

$\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

та нуль справа і зліва від ями. Тоді струм запишеться у вигляді

$j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$

оскільки $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

Виведення рівняння неперевності

В цьому розділі рівняння неперевності виводиться із визначення струму ймовірності та основних принципів квантової механіки

Припустимо, що $\Psi$ — хвильова функція, яка залежить від трьох змінних $x$, $y$, та $z$). Тоді

$P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV$

визначає ймовірність виміряти позицію частинки в об'ємі V. Похідна по часу запишеться у вигляді

${\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV$

де останнє рівння припускає, що часткову похідну по часу можна внести під інтеграл (форма об'єму $V$ не залежить від часу). Для подальшого спрощення роглянемо нестаціонарне Рівняння Шредінгера

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

і використаємо його, щоб виділити похідну по часу від $\Psi$:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi$

Результат підстановки в попереднє рівняння для ${\frac {dP}{dt}}$ дає

${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV$.

Тепер після переходу до дивергенції

$\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}$

і, оскільки, перший та третій доданки скорочуються:

${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV$

Якщо згадаємо вираз для $P$ і зауважимо, що вираз на який діє оператор набла є ${\vec {j}}$ тоді запишем вираз

$\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0$

який є інтегральною формою рівняння неперевності. Диференціальна форма випливає з того факту, що попередні рівняння виконана для всіх об'ємів $V$, і інтегралом можна знехтувати

${\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0.$

Посилання

Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р.) http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/savula.pdf^{[недоступне посилання]}

Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника)http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/nmmf.pdf [Архівовано 21 квітня 2018 у Wayback Machine.]