Теорема Пойнтінга (англ. Poynting's theorem) — теорема, що описує закон збереження енергії електромагнітного поля. Теорема була доведена у 1884 році Джоном Генрі Пойнтінгом. Все зводиться до наступної формули:
,
Де S — вектор Пойнтінга, J — густина струму і E — електричне поле. Густина енергії
(
— електрична стала,
— магнітна стала).
![{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bd95489c4d70ff261c132cdc402bd539f1fe74)
Теорема Пойнтінга в інтегральній формі:
,
де
— поверхня, що обмежуює об'єм
.
У технічній літературі теорема зазвичай записується наступним чином (
— густина енергії):
,
де
— густина енергії електричного поля,
— густина енергії магнітного поля і
— потужність втрат Джоуля на одиницю об'єму.
Теорема може бути доведена з допомогою двох рівнянь Максвелла (для простоти вважаємо, що середовище — це вакуум (μ=1, ε=1); для загального випадку з довільним середовищем потрібно у формули до кожного ε0 і μ0 приписати ε і μ):
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40993cef0ca062a8e9fba6df165dc2c4444ab79)
Домноживши дві частини рівняння на
, отримаємо:
![{\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4ddb6bcd8069189b44d606a76888da85af9aa8)
Розглянемо спочатку рівняння Максвелла-Ампера:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c940f202d29f4aa6c82ba828af54e08bbb8e44)
Домноживши дві частини рівняння на
, отримаємо:
![{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047aeaffd10457b0faacbab17d5d188d3cfa7b4c)
Віднявши перше рівняння з другого, отримаємо:
![{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33e100c952a761eded4005779f35efb28ec3954)
Нарешті:
![{\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0515ed87c34121a7bb1573cda0fdc4a29861f0)
Оскільки вектор Пойнтінга
визначається как:
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6532f39a4f6fbc482514fcf7b2b2a54f0f888)
це рівнозначно:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8223c52972fcf57a0a3359a65e02b5041608c57d)
Механічна енергія у теоремі визначається як
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3dce6a39a2349fb41d07bcf189b3096c9f1797)
де u_m — кінетична енергія густини у системі. Вона може бути описана як сума кінетичної енергії частинок α
![{\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b93f4f64a2368ea9a5f642e969c79a40edd93d)
— потік енергії, або «механічний вектор Пойнтінга»:
![{\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfcd14bf6a03cd544fddfb6f517c88384af5a14)
Рівняння неперервності енергії, або закон збереження енергії
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273bac9a2986ef8a89db537f9479921a9f4bb16e)
Можна отримати й інші форми теореми Пойнтінга. Замість того щоб використовувати вектор потоку
можна вибрати форму Авраама
, форму Мінковського
, або якусь іншу.