Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції
і
голоморфні в однозв'язній області
, а на контурі
також виконується строга нерівність
, то в області
функції
і
мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.
З нерівності
випливає, що функції
не мають нулів на
Поділивши
на
одержуємо нерівність
де
Звідси бачимо, що образ
контуру
щодо відображення
лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці
Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція
буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі
і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:
![{\displaystyle \oint _{\partial G'}{\frac {1}{w}}\,dw=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fa2d41496783572595c12b907346e5c4b2064f)
Оскільки
то звідси
![{\displaystyle \oint _{\partial G}{\frac {F'(z)}{F(z)}}\,dz=0.\quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0057239a6765dca44038ddcd8de9ea8a2ec578b3)
З формули похідної від частки можна одержати:
![{\displaystyle {\frac {F'(z)}{F(z)}}={\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5dc5bf1cdc8d3e0ffe14392ea2d67b1526ebce)
Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:
![{\displaystyle \oint _{\partial G}{\Bigg [}{\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}{\Bigg ]}\,dz=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cb187c965487e7332eb9670588784a57b91d36)
або
![{\displaystyle \oint _{\partial G}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{\partial G}{\frac {g'(z)}{g(z)}}\,dz\quad .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6784e1ac45e1fe151f893f969dfa4b85f3455e98)
Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.
- Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
- Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
- Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372