Теорема Рімана про умовно збіжний ряд

Теорема Рімана про умовно збіжний ряд — теорема стверджує, що перестановкою членів умовно збіжного ряду можна побудувати ряд, що збігається до якої завгодно суми чи взагалі розходиться. Названа на честь німецького математика Бернгарда Рімана.

Твердження

Нехай $\sum _{k=0}^{n}u_{k}$ — умовно збіжний дійсний числовий ряд.

Для довільного числа $\alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},$

існує перестановка $\sigma$ елементів $\mathbb {N}$ така що

$\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}=\alpha .$

Доведення

Позначимо:

$\forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}=\max(u_{n},0)\quad \quad b_{n}=\min(0,u_{n}).$

Тоді:

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}=+\infty \quad \quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}=-\infty .\qquad (1)$

Побудова перестановки

Візьмемо довільне число $\alpha \in \mathbb {R}$. Побудова перестановки $\sigma$ множини $\mathbb {N}$ здійснюється наступним чином. Вибирається найменша достатня кількість послідовних додатних членів, щоб часткова сума перевищувала $\alpha \,$ (це можливо згідно з (1)). Тоді вибирається найменша достатня кількість послідовних від'ємних членів, щоб часткова сума не перевищувала $\alpha \,$ (це можливо згідно з (1)). Продовжуючи цю процедуру до нескінченності, одержуємо перестановку.

Збіжність

Нехай $\varepsilon >0$. Існує натуральне число $N_{0}\in \mathbb {N} ,$ що для всіх $n\in \mathbb {N}$,

$n\geq N_{0}\Longrightarrow |u_{n}|<\varepsilon .$

Існує $N_{1}\in \mathbb {N} ,$ що для всіх $n\in \mathbb {N}$,

$n\geq N_{1}\Longrightarrow |u_{\sigma (n)}|<\varepsilon .$

Наприклад, достатньо взяти $N_{1}=1+\max\{\sigma ^{-1}(0),\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}(N_{0})\}$.

Позначимо $N_{2}$ найменше число, строго більше $N_{1}$ для якого $u_{\sigma (N_{2})}$ і $u_{\sigma (N_{2}+1)}$ мають протилежні знаки. Тоді виконується

$\left|\alpha -\sum _{k=0}^{N_{2}-1}u_{\sigma (k)}\right|\leq |u_{\sigma (N_{2})}|\leq \varepsilon .$

Для $n\geq 2$, позначимо твердження

${\mathcal {P}}(n):\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .$

Вище було показано, що твердження ${\mathcal {P}}(N_{2}-1)$ є справедливим. Нехай воно справедливе для $n\geq N_{2}-1$. Розглянемо два випадки:

• Перший випадок

$0<\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq \varepsilon .$

Тоді $0\leq u_{\sigma (n+1)}\leq \varepsilon$ і

$\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .$

• Другий випадок

$-\varepsilon \leq \alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq 0.$

Тоді $-\varepsilon \leq u_{\sigma (n+1)}<0$ і

$\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .$

Застосовуючи математичну індукцію, маємо:

$\forall \varepsilon >0,\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq N_{2}\Longrightarrow \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon ,$

що й доводить твердження.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Теорема Рімана про умовно збіжний ряд(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)