Теорема про симпліційне наближення

У математиці, зокрема алгебричній топології, симпліційне наближення неперервного відображення є важливим засобом, що пов'язує комбінаторні і неперервні методи. Теорема про симпліційне наближення стверджує, що довільне неперервне відображення із скінченного симпліційного комплексу у інший симпліційний комплекс (після застосування достатню кількість разів процесу барицентричного розбиття) може бути наближено симпліційним відображенням. Теорема була доведена у 1910 році Лейтзеном Брауером для доведення топологічної інваріантності симпліційної гомології.

Твердження теореми

Якщо $g\colon |K|\to |L|$ є неперервним відображенням між поліедрами і симпліційний комплекс K є скінченним, то існує число $n_{0}$ таке, що для всіх $n\geqslant n_{0}$ існує симпліційне наближення $f:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L$ до $g.$ Тут $\mathrm {Bd} ^{n}\;K$ позначає застосування n разів процесу барицентричного розбиття до симпліційного комплексу.

Доведення

Оскільки симпліційний комплекс K є скінченним, то існує максимальна розмірність його симплексів, яку позначимо m. Відкриті множини ${\text{st}}(a),$ для всіх вершин $a\in K$ утворюють відкрите покриття простору $|K|.$ Позначино $\operatorname {mesh} K$ діаметр цього покриття, тобто найбільший діаметр у всіх множин ${\text{st}}(a).$ Очевидно, що $\operatorname {mesh} K\leqslant 2\lambda ,$ де $\lambda$ позначає найбільшу довжину 1-симплексів у комплексі K.

Нехай тепер $\mathrm {Bd} K$ є барицентричним розбиттям комплексу K і $\mu$ позначає найбільшу довжину його 1-симплекса. За означенням барицентричного розбиття цей 1-симплекс сполучає барицентр деякого k-симплекса (де k менше або рівне m) із барицентром деякої його r грані. Нехай $a_{0},\ldots ,a_{k}$ є вершинами відповідного k-симплекса так, що $a_{0},\ldots ,a_{r}$ є вершинами відповідної r грані. Тоді:

${\begin{aligned}\mu =&\left|{\frac {1}{r+1}}\sum _{i=0}^{r}a_{i}-{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}a_{i}\right|={\frac {1}{k+1}}\left|{\frac {k+1}{r+1}}\sum _{i=0}^{r}a_{i}-\sum _{j=0}^{k}a_{j}\right|=\\&{\frac {1}{k+1}}\left|\sum _{j=0}^{k}\left({\frac {1}{r+1}}\sum _{i=0}^{r}a_{i}-a_{j}\right)\right|={\frac {1}{k+1}}{\frac {1}{r+1}}\left|\sum _{j=0}^{k}\sum _{i=0}^{r}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right|\\&\leqslant {\frac {1}{k+1}}{\frac {1}{r+1}}\sum _{i=0}^{k}\sum _{i=0}^{r}\left|a_{j}-a_{i}\right|.\end{aligned}}$

Але для всіх доданків $\left|a_{j}-a_{i}\right|\leqslant \lambda$ і цей вираз є рівний нулю для i = j. Таких доданків є r + 1, відповідно ненульових (k + 1)(r + 1) - (r + 1) = (r + 1)k.

Таким чином остаточно $\mu \leqslant {\frac {k}{k+1}}\lambda \leqslant {\frac {m}{m+1}}\lambda .$

Звідси $\mathrm {Bd} K\leqslant 2\mu \leqslant {\frac {m}{m+1}}\lambda .$ Повторюючи ці міркування можна одержати нерівність $\mathrm {Bd} ^{n}K\leqslant 2\mu \leqslant \left({\frac {m}{m+1}}\right)^{n}\lambda .$ Зокрема для довільного $\varepsilon >0$ існує таке $n_{0}$, що для всіх $n\geqslant n_{0}$ виконується нерівність $\mathrm {Bd} ^{n}K<\varepsilon .$

Множини $g^{-1}({\text{st}}(b))$ для точок $b\in L$ утворюють відкрите покриття $|K|.$ Оскільки $|K|$ є компактним простором, то згідно леми Лебега існує додатне число $\delta$ таке, що кожна множина діаметром менша $\delta$ міститься в якійсь із множин $g^{-1}({\text{st}}(b))$. Із попереднього існує таке $n_{0}$, що для всіх $n\geqslant n_{0}$ виконується нерівність $\mathrm {Bd} ^{n}K<\delta .$ Звідси для кожної вершини $a\in \mathrm {Bd} ^{n}K$ існує вершина $b\in L$ така, що $g({\text{st}}(a))\subset {\text{st}}(b).$

Згідно із властивістю симпліційних наближень у статті Симпліційне відображення, якщо взяти $f(a)=b$ і лінійно продовжити на симплексах, то f буде симпліційним відображенням і симпліційним наближенням до g. Воно і буде симпліційним наближенням із твердження теореми.

Див. також

• Лема Лебега
• Симпліційне відображення
• Симпліційний комплекс

Література

• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Munkres, James R. (1995). Elements of Algebraic Topology. Westview Press. ISBN 978-0-201-62728-2.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3