Алгебрична топологія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебрична топологія (застаріла назва: «комбінаторна топологія») — розділ топології, який вивчає топологічні простори шляхом зіставлення їм алгебричних об'єктів, а також поведінку цих об'єктів під дією різних топологічних операцій.

Основна ідея[ред.ред. код]

Методи алгебричної топології засновані на припущенні, що алгебричні структури влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологій (зараз дуже велике значення набули екстраординарні гомології, наприклад теорія бордизмів або -теорія) для алгебричної топології важливі гомотопічні групи . З них головною є  — так звана фундаментальна група, на відміну від груп решти вимірностей, що можуть бути неабелевими.

Теорема Брауера (приклад)[ред.ред. код]

Як приклад застосування методів алгебричної топології можна навести доказ знаменитої теореми Брауера. Тут означає замкнена -вимірна куля,  — її -вимірна границя (сфера):

Будь-яке неперервне відображення -вимірної кулі у себе має нерухому точку, тобто таку точку , що

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

Не існує неперервного відображення -вимірної кулі на свою границю такого, що для всіх точок границі (що називається ретракцією)

Дійсно, якщо у відображенні немає нерухомих точок, то ми можемо побудувати відображення кулі на сферу провівши для кожної точки кулі промінь, що виходить з і проходить через (у разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою позначимо через і покладемо . Ясно, що отримане відображення є неперервним, і якщо належить сфері, то . Ми отримали ретракцію кулі на сферу, що за лемою неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер найбільша складність полягає у доведені леми. Нехай існує така ретракція . Позначимо  — вкладення сфери в кулю . Маємо: добуток відображень  — тотожне відображення сфери (спочатку , потім ). Одним з найголовніших інструментів алгебричної топології є так звані групи гомології (наприклад, сімпліциальні або сингулярні). Кожному топологічному простору відповідає в кожній розмірності своя абелева група гомології , а кожному неперервному відображенню відповідає гомоморфізм груп , причому добутку відображень відповідає добуток гомоморфізмів , а тотожному відображенню відповідає тотожний ізоморфізм . (Мовою теорії категорій це означає, що група гомології є коваріантним функтором з категорії топологічних просторів у категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої леми. Легко довести, що , а . Тоді відображення буде відображенням в 0 але, з іншого боку, оскільки , маємо  — є не нульовим гомоморфізмом, ізоморфізму, а тотожним. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебричні доведення теореми Брауера, але введення гомології відразу дозволило легко довести безліч тверджень, які раніше здавалися непов'язаними одне з одним.

Історія[ред.ред. код]

Деякі теореми алгебричної топології були відомі ще Ейлеру, наприклад, що для всякого опуклого многоранника з числом вершин , ребер і граней має місце .

Топологічними питаннями цікавилися Гаус і Ріман.

Але основну роль у створенні алгебричної топології як науки зіграв Пуанкаре — саме йому належать поняття симпліціальної гомології та фундаментальної групи. Великий внесок зробили Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стінрод, Ейленберг, Серр, Том, Атія, Хірцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Мілнор, Квіллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягін, Люстерник, Рохлін, Новіков, Фоменко, Концевич, Воєводський, Перельман.

Література[ред.ред. код]

  • Hatcher A. Algebraic Topology
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989
  • Ковальов С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. І., Михайленко В.Є, Бурчак І. Н. Прикладна геометрія та іженерна графіка. Спеціальні розділи. Випуск 1. — Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2006. — 256 с. (С. 90)

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.