Неперервна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Неперервне відображення)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Непере́рвна фу́нкція — в математичному аналізі це функція, у якій малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції. Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу».

Усі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

Означення

[ред. | ред. код]
Приклад неперервної функції
Приклад розривної функції в точці . Функція не є неперервною зліва точки
проте є неперервною справа: : .

Функція дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного знайдеться таке (яке залежить від ), що з випливає

Функція неперервна в області , якщо неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай  — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x0

[ред. | ред. код]

Функція f називається неперервною в точці якщо:

  1. функція f(x) визначена в точці x0.
  2. існує границя
  3. .

Означення неперервності в точці x0 за Коші

[ред. | ред. код]

Функція f називається неперервною в точці якщо:

Означення неперервності в точці x0 за Гайне

[ред. | ред. код]

Функція f називається неперервною в точці якщо:

.

Точки розриву

[ред. | ред. код]

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо —  значення функції в точці , то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з . Мовою околів умова розривності функції  в точці є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки  в області значень функції , що як би ми близько не підходили до точки в області визначення функції завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки .

Класифікація точок розриву в R¹ 

[ред. | ред. код]

Класифікація розривів функцій залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції . Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

  • якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
  • якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розриву

[ред. | ред. код]

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: , то точка називається точкою усувного розриву функції (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію  у точці усувного розриву і покласти , то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок»

[ред. | ред. код]

Розрив «стрибок» виникає, якщо

.

Точка розриву «полюс»

[ред. | ред. код]

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх границь нескінченна.

або .

Точка суттєвого розриву

[ред. | ред. код]

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rn, n>1

[ред. | ред. код]

Для функцій та немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

  • Якщо , то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
  • Полюс визначається як . В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що , яким шляхом б він не ріс.
  • Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

Властивості

[ред. | ред. код]

Локальні

[ред. | ред. код]
  • Функція, неперервна в точці , є обмеженою в деякому околі цієї точки.
  • Якщо функція неперервна в точці і (або ), то (або ) для всіх, досить близьких до .
  • Якщо функції та неперервні в точці ,то функції та теж неперервні в точці .
  • Якщо функції та неперервні в точці і при цьому , то функція теж неперервна в точці .
  • Якщо функція неперервна в точці та функція неперервна в точці , то їх композиція неперервна в точці .

Глобальні

[ред. | ред. код]
  • Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), рівномірно неперервна на ньому.
  • Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення.
  • Областю значень функції , неперервної на відрізку , є відрізок де мінімум і максимум беруться по відрізку .
  • Якщо функція неперервна на відрізку та то існує точка в якій .
  • Якщо функція неперервна на відрізку і число задовольняє нерівності або нерівності то існує точка у котрій .
  • Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
  • Монотонна функція на відрізку неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями та .
  • Якщо функції и неперервні на відрізку , причому та то існує точка в якій Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Топологічні

[ред. | ред. код]

Вивчення топологічних властивостей неперервних функцій відбувається шляхом їх розшарування на гомотопічні класи, де кожний клас складається з функцій, які можуть неперервно деформуватися одна в одну. Нехай та  — топологічні простори, а та  — неперервні функції, які відображають в . Відзначимо одиничний інтервал на дійсній прямій Тоді функції та є гомотопними, якщо існує неперервна функція , яка відображає у , для якої а Неперервна функція , яка описує неперервну деформацію функції у , називається гомотопією. Кожний гомотопічний клас характеризується степенем відображення яку називають топологічним індексом. Усі функції, які відображають у , можна розбити на гомотопічні класи, такі, що дві функції належать одному класові, якщо вони є гомотопними.

Приклади

[ред. | ред. код]

Елементарні функції

[ред. | ред. код]

Довільні многочлени, раціональні функції, показові функції, логарифми, тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривом

[ред. | ред. код]

Функція задається формулою

неперервна в будь-якій точці Точка є точкою усувного розриву, бо границя функції

Функція знака

[ред. | ред. код]

функція

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці .

Точка є точкою розриву першого роду, причому

, в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція

[ред. | ред. код]

Ступінчаста функція, яка визначається як

є всюди неперервна, крім точки , де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

Функція Діріхле

[ред. | ред. код]
Докладніше: Функція Діріхле

функція

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле — це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривною функцією, оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція Рімана

[ред. | ред. код]

функція

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел (), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальнення

[ред. | ред. код]

Рівномірна неперервність

[ред. | ред. код]

Функція називається рівномірно неперервної на , якщо для будь-якого існує таке, що для будь-яких двох точок і яких, що , виконується .

Кожна рівномірно неперервна на множині функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення — компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Напівнеперервність

[ред. | ред. код]

Існує дві симетричні одна до одної властивості — напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :

  • функція напівнеперервна знизу в точці , якщо для будь-якого існує така околиця , що для будь-якого ;
  • функція називається напівнеперервна зверху в точці , якщо для будь-якого існує такий окіл точки , що для будь-якого .

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

  • якщо взяти функцію , неперервну в точці , і зменшити значення (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці ;
  • якщо взяти функцію , неперервну в точці , і збільшити значення на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці .

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

  • якщо , то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці ;
  • якщо ,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці .

Одностороння неперервність

[ред. | ред. код]

Функція називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння:

Неперервність майже всюди

[ред. | ред. код]

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція така, що вона неперервна всюди на , крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
  • Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
  • Функція неперервна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
  • Неперервність функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 225. — 594 с.