Кільце Гензеля
Кільцем Гензеля називається комутативне локальне кільце для якого виконується лема Гензеля. Цей клас кілець ввів японський математик Горо Азумайа[1], який назвав їх на честь Курта Гензеля.
Для кожного локального кільця можна отримати гензелеве кільце за допомогою процедури гензелізації. У комутативній алгебрі гензелізація часто замінює операцію поповнення, що відіграє важливу роль при локальному дослідженні об'єктів. В теорії етальних морфізмів і етальної топології гензелева R-алгебра розглядається як індуктивна границя етальних розширень кільця.
Означення[ред. | ред. код]
Кільцем Гензеля називається комутативне локальне кільце R, для якого виконується лема Гензеля. Для локального кільця із максимальним ідеалом цю умову можна сформулювати так, що для будь-якого многочлена і простого розв'язку рівняння P(X) = 0 по модулю , тобто і існує , для якого і .
Кільце Гензеля можна характеризувати як кільце, над яким будь-яка скінченна алгебра є прямим добутком локальних кілець.
Кільце Гензеля із сепарабельним замкнутим полем лишків називається строго гензелевим через локальність його спектра в етальній топології схем.
Приклади[ред. | ред. код]
- Повні локальні кільця.
- Кільця збіжних степеневих рядів (і в більш загальному сенсі, аналітичні кільця),
- Кільце алгебричних степеневих рядів (тобто формальні степеневі ряди що є алгебричними над ).
Властивості[ред. | ред. код]
- Локальне кільце, ціле над кільцем Гензеля, є кільцем Гензеля; зокрема, фактор-кільце кільця Гензеля є кільцем Гензеля.
- Кільце R є гензелевим тоді і тільки тоді, коли асоційоване редуковане кільце Rred (фактор-кільце за нільрадикалом) є кільцем Гензеля.
Гензелізація[ред. | ред. код]
Для будь-якого локального кільця R існує універсальна конструкція — локальна гензелева R-алгебра Rh, така що для будь-якої локальної гензелевої R-алгебри B існує єдиний гомоморфізм R-алгебр
Rh називається гензелізацією кільця R. Гензелізація задовольняє властивості:
- Алгебра Rh локального кільця R є строго плоским R-модулем.
- Ідеал буде максимальним ідеалом алгебри ,
- Поля лишків R і Rh є канонічно ізоморфними,
- Поповнення кілець R і Rh (в топологіях локальних кілець) є ізоморфними.
- Якщо R є нетерівським (відповідно редукованим, нормальним, регулярним, чудовим) кільцем, то таким же буде і Rh.
- Якщо R — область цілісності, то Rh може не бути областю цілісності; більш точно, є бієктивна відповідність між максимальними ідеалами цілого замикання кільця R і мінімальними простими ідеалами у Rh.
Аналогічно конструкції побудови гензелевої R-алгебри Rh існує функтор строгої гензелевої R-алгебри Rsh.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Azumaya, Gorô (1951), On maximally central algebras., Nagoya Mathematical Journal, 2: 119—150, doi:10.1017/s0027763000010114, ISSN 0027-7630, MR 0040287, архів оригіналу за 12 квітня 2019, процитовано 12 квітня 2019
Див. також[ред. | ред. код]
Література[ред. | ред. код]
- Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13 (вид. reprint), New York-London: Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons, с. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
- Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Mathematics, т. 169, Berlin-New York: Springer-Verlag, с. v+129, doi:10.1007/BFb0069571, ISBN 978-3-540-05283-8, MR 0277519