Локальне кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Локальне кільцекомутативне кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R локальне кільце з максимальним ідеалом \mathfrak{m}, то фактор-кільце R/\mathfrak{m} є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Приклади[ред.ред. код]

Локалізація[ред.ред. код]

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізация.

Нехай R — комутативне кільце, а \mathfrak{p}простий ідеал в R. Кільце R_\mathfrak{p}, яке складається з дробів виду \frac{r}{s}, де r \in R, s \in R \setminus \mathfrak{p}, є локальним і називається локалізацією кільця R в \mathfrak{p}. Максимальним ідеалом кільця R_\mathfrak{p} є ідеал \mathfrak{p}R_\mathfrak{p}, а поле лишків R_\mathfrak{p} ототожнюється з полем часток фактор-кільця R/\mathfrak{p}, що є областю цілісності. Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу. Будь-яке фактор-кільце локального кільця також локально.

Властивості[ред.ред. код]

Властивість кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець R_\mathfrak{p} (відповідно модулів M \bigotimes_R R_\mathfrak{p} або алгебри B \bigotimes_R R_\mathfrak{p}) для всіх простих ідеалів \mathfrak{p} кільця R.

Степені \mathfrak{m}^n максимального ідеалу \mathfrak{m} локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або \mathfrak{m}-адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є віддільною (теорема Крулля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Кільця Нетер[ред.ред. код]

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця. Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо \mathfrak{m}-адичної топології; в цьому випадку R = \lim R/\mathfrak{m}^n. У повному локальному кільці \mathfrak{m}-адична топологія слабша за будь-яку іншу віддільну топологію (теорема Шевалле). Будь-яке повне локальне кільце представляється як фактор-кільце кільця S[[X_1,\ldots,X_n]] формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

Тонше, кількісне дослідження локального кільця R зв'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця Gr(R)= \bigoplus_{n \geqslant 0}(\mathfrak{m}^n / \mathfrak{m}^{n+1}). Нехай H_R (n) — розмірність векторного простору \mathfrak{m}^n / \mathfrak{m}^{n+1} над полем лишків R/\mathfrak{m}; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом \bar{H}_R (n) від n, який називається многочленом Гільберта - Самюеля локального кільця R. Цей факт можна виразити в термінах ряду Пуанкаре: формальний ряд

P_R (t) = \sum_{n \geqslant 0} H_R (n)\cdot t^n

є раціональною функцією вигляду f(t)(1-t)^{-d(R)} де f(t) \in \Z[t] — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню \bar{H}_R. Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця. Крім того, d(R) рівне найменшому числу елементів r_1,\ldots,r_d \in R, для яких фактор-кільце R/(r_1,\ldots,r_d) є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал \mathfrak{m}, то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем. Регулярність R еквівалентна тому, що dim(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)= dim R. Для d-вимірного регулярного кільця R

H_R (n) = { {n + d - 1} \choose {d - 1}}

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]