Локальне кільце

Локальне кільце — кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R — комутативне локальне кільце з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$, то фактор-кільце $R/{\mathfrak {m}}$ є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Означення

кільце R (асоціативне з одиницею) називається локальним кільцем якщо воно задовольняє одній із еквівалентних умов:

• R має єдиний максимальний лівий ідеал.
• R має єдиний максимальний правий ідеал.
• 1 ≠ 0 і сума двох необоротних елементів у R є необоротним елементом.
• 1 ≠ 0 і для довільного елемента x або x або 1 − x є оборотним елементом.
• Якщо скінченна сума є оборотним елементом, то хоча б один із доданків є оборотним елементом (звідси зокрема 1 ≠ 0).

При виконанні цих умов єдиний максимальний правий ідеал є рівним єдиному максимальному лівому і є рівним радикалу Джекобсона. Для комутативних кілець поняття лівих і правих ідеалів не відрізняються.

Приклади

• Будь-яке поле або кільце нормування є локальним.
• Локальним є також кільце формальних степеневих рядів $k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ над полем k або над будь-яким локальним кільцем. Навпаки, кільце многочленів $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ не є локальним кільцем.

• Нехай X — топологічний простір (диференційовний многовид, аналітичний простір, або алгебраїчний многовид), а x — точка в X. Нехай R — кільце ростків в точці x неперервних функцій (відповідно диференційовних, аналітичних або регулярних функцій); тоді R — локальне кільце, максимальний ідеал якого складається з ростків функцій, що приймають значення 0 в точці x.

Локалізація

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізація.

Нехай R — комутативне кільце, а ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал в R. Кільце $R_{\mathfrak {p}}$, яке складається з дробів виду ${\frac {r}{s}}$, де $r\in R,s\in R\setminus {\mathfrak {p}}$, є локальним і називається локалізацією кільця R в ${\mathfrak {p}}$. Максимальним ідеалом кільця $R_{\mathfrak {p}}$ є ідеал ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$, а поле лишків $R_{\mathfrak {p}}$ ототожнюється з полем часток фактор-кільця $R/{\mathfrak {p}},$ що є областю цілісності.

Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу.

Властивості

Властивість комутативного кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець $R_{\mathfrak {p}}$ (відповідно модулів $M\bigotimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$ або алгебри $B\bigotimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$) для всіх простих ідеалів ${\mathfrak {p}}$ кільця R.

Степені ${\mathfrak {m}}^{n}$ максимального ідеалу ${\mathfrak {m}}$ комутативного локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або ${\mathfrak {m}}$-адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є гаусдорфовою (теорема Круля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Будь-яке фактор-кільце локального кільця також є локальним.

Будь-який проективний модуль над локальним кільцем є вільним.

Кільця Нетер

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця.

• Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо ${\mathfrak {m}}$-адичної топології; в цьому випадку $R=\lim R/{\mathfrak {m}}^{n}$. У повному локальному кільці ${\mathfrak {m}}$-адична топологія є слабшою за будь-яку іншу гаусдорфову топологію (теорема Шевалле).
• Будь-яке повне локальне кільце є фактор-кільцем кільця $S[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

• Тонше, кількісне дослідження локального кільця R пов'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця $Gr(R)=\bigoplus _{n\geqslant 0}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})$. Нехай $H_{R}(n)$ — розмірність векторного простору ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ над полем лишків $R/{\mathfrak {m}}$; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом ${\bar {H}}_{R}(n)$ від n, який називається многочленом Гільберта — Самюеля локального кільця R.
• Формальний ряд

$P_{R}(t)=\sum _{n\geqslant 0}H_{R}(n)\cdot t^{n}$

є раціональною функцією вигляду $f(t)(1-t)^{-d(R)}$ де $f(t)\in \mathbb {Z} [t]$ — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню ${\bar {H}}_{R}$.

• Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця.
• d(R) є рівним найменшому числу елементів $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$, для яких фактор-кільце $R/(r_{1},\ldots ,r_{d})$ є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал ${\mathfrak {m}}$, то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем.
• Регулярність R еквівалентна тому, що $dim({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})=dimR$.
• Для d-вимірного регулярного кільця R

$H_{R}(n)={{n+d-1} \choose {d-1}}$

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Див. також

• Локалізація кільця
• Регулярне локальне кільце

Посилання

• Regular Local Rings. [Архівовано 24 травня 2010 у Wayback Machine.]

Література

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 2. — 438 с.(рос.)