Локальне кільце

Локальне кільце — комутативне кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R локальне кільце з максимальним ідеалом $\mathfrak{m}$, то фактор-кільце $R/\mathfrak{m}$ є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Приклади

• Будь-яке поле або кільце нормування є локальним.
• Локальним є також кільце формальних степеневих рядів $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ над полем k або над будь-яким локальним кільцем. Навпаки, кільце многочленів $k[X_1,\ldots,X_n]$ не є локальним кільцем.

• Нехай X — топологічний простір (диференційовний многовид, аналітичний простір, або алгебраїчний многовид), а x — точка в X. Нехай R — кільце ростків в точці x неперервних функцій (відповідно диференційовних, аналітичних або регулярних функцій); тоді R — локальне кільце, максимальний ідеал якого складається з ростків функцій, що приймають значення 0 в точці x.

Локалізація

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізация.

Нехай R — комутативне кільце, а $\mathfrak{p}$ — простий ідеал в R. Кільце $R_\mathfrak{p}$, яке складається з дробів виду $\frac{r}{s}$, де $r \in R, s \in R \setminus \mathfrak{p}$, є локальним і називається локалізацією кільця R в $\mathfrak{p}$. Максимальним ідеалом кільця $R_\mathfrak{p}$ є ідеал $\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}$, а поле лишків $R_\mathfrak{p}$ ототожнюється з полем часток фактор-кільця $R/\mathfrak{p},$ що є областю цілісності. Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу. Будь-яке фактор-кільце локального кільця також локально.

Властивості

Властивість кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець $R_\mathfrak{p}$ (відповідно модулів $M \bigotimes_R R_\mathfrak{p}$ або алгебри $B \bigotimes_R R_\mathfrak{p}$) для всіх простих ідеалів $\mathfrak{p}$ кільця R.

Степені $\mathfrak{m}^n$ максимального ідеалу $\mathfrak{m}$ локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або $\mathfrak{m}$-адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є віддільною (теорема Крулля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Кільця Нетер

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця. Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо $\mathfrak{m}$-адичної топології; в цьому випадку $R = \lim R/\mathfrak{m}^n$. У повному локальному кільці $\mathfrak{m}$-адична топологія слабша за будь-яку іншу віддільну топологію (теорема Шевалле). Будь-яке повне локальне кільце представляється як фактор-кільце кільця $S[[X_1,\ldots,X_n]]$ формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

Тонше, кількісне дослідження локального кільця R зв'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця $Gr(R)= \bigoplus_{n \geqslant 0}(\mathfrak{m}^n / \mathfrak{m}^{n+1})$. Нехай $H_R (n)$ — розмірність векторного простору $\mathfrak{m}^n / \mathfrak{m}^{n+1}$ над полем лишків $R/\mathfrak{m}$; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом $\bar{H}_R (n)$ від n, який називається многочленом Гільберта - Самюеля локального кільця R. Цей факт можна виразити в термінах ряду Пуанкаре: формальний ряд

$P_R (t) = \sum_{n \geqslant 0} H_R (n)\cdot t^n$

є раціональною функцією вигляду $f(t)(1-t)^{-d(R)}$ де $f(t) \in \Z[t]$ — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню $\bar{H}_R$. Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця. Крім того, d(R) рівне найменшому числу елементів $r_1,\ldots,r_d \in R$, для яких фактор-кільце $R/(r_1,\ldots,r_d)$ є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал $\mathfrak{m}$, то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем. Регулярність R еквівалентна тому, що $dim(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)= dim R$. Для d-вимірного регулярного кільця R

$H_R (n) = { {n + d - 1} \choose {d - 1}}$

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Посилання

• Regular Local Rings.

Література

• Атья М., Макдональд И. (1972). Введение в коммутативную алгебру. Москва: Мир. с. 160. 
• Зарисский О., Самюэль П. (1963). Коммутативная алгебра. том II. Москва: ИЛ. с. 438.