Фрактал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Границя множини Мандельброта є відомим прикладом фрактала

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт.

Історія[ред.ред. код]

Сніжинка Коха є межею нескінченної конструкції, що починається з трикутника та доповнюється рекурсивною заміною кожного сегменту набором із чотирьох сегментів, які утворюють трикутний «виступ». Щоразу, коли додаються нові трикутники (при ітерації), периметр фігури зростає на третину й тому прямує до нескінченності, коли кількість ітерацій прямує до нескінченності. Довжина межі сніжинки Коха, таким чином, є нескінченною, а її площа — скінченною.

Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», (ISBN 0-8135-2613-2) задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. В 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів якої має назву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунено філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. В 1872 Карл Веєрштрас побудував приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційовної — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштраса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинено Полєм П'єром Леві, який у своїй роботі Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві.

Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці 19 та на початку 20 століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них забракло засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.

В 1960-их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад Яка довжина узбережжя Британії? Статистична самоподібність та дробова розмірність. Ця доповідь базувалась на ранніх роботах Луі Фрая Річардсона. В 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне означення захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп'ютера. Ці зображення привернули велику увагу; багато з них базувалися на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.

Приклади[ред.ред. код]

Множина Жюліа, фрактал, близький до множини Мандельброта.

Порівняно простий клас прикладів становлять множини Кантора, в яких короткі та ще коротші (відкриті) інтервали вилучаються з одиничного інтервалу [0; 1], залишаючи множину, яка, можливо, буде (або не буде) самоподібною при збільшенні й, можливо, матиме (або не матиме) розмірність Хаусдорфа d таку, що 0 < d < 1. Простий приклад, такий як вилучення цифри 7 із десяткового подання, є самоподібним при 10-разовому збільшенні, має розмірність Хаусдорфа log 9/log 10 та показує зв'язок між двома концепціями. Для порівняння: топологічна розмірність довільної множини Кантора дорівнює 0, й тому всі множини Кантора є фракталами.

Також до прикладів фракталів належить фрактал Ляпунова, трикутник Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера, крива дракона, крива заповнення простору, межі множин груп Кліні та крива Коха. Фрактали можуть бути детермінованими або стохастичними (наприклад, недетермінованими).

Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами (дивіться атрактор). Об'єкти в просторі параметрів родини систем також можуть бути фракталами. Цікавим прикладом є множина Мандельброта. Ця множина містить цілі диски, тому її розмірність Хаусдорфа дорівнює топологічній розмірності, яка дорівнює 2, і вона формально не є фракталом — але що насправді є дивним, це те, що розмірність Хаусдорфа межі множини Мандельброта також дорівнює 2 (а топологічна розмірність дорівнює 1). Це було доведено М. Шішікурою 1991 року.

Самоподібні множини з незвичайними властивостями в математиці[ред.ред. код]

Починаючи з кінця XIX століття, в математиці з'являються приклади самоподібних об'єктів з патологічними з точки зору класичного аналізу властивостями. До них можна віднести наступні:

  • множина Кантора — ніде не щільну незліченну досконалу множину. Модифікувавши процедуру, можна також отримати ніде не щільну множину позитивної довжини;
  • крива Коха — неперервна крива, що не перетинається, нескінченної довжини, яка не має дотичній ні в одній точці;
  • крива Пеано — неперервна крива, що проходить через всі точки квадрата;

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих[ред.ред. код]

Існує проста рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ломану з кінцевим числом ланок, звану генератором. Далі, замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ломаною, подібною генератору). У цій ломаній знову замінимо кожний відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, в межі отримаємо фрактальну криву.

Прикладами таких кривих служать :

За допомогою схожої процедури виходить дерево Піфагора.

Стохастичні фрактали[ред.ред. код]

Природні об'єкти часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватися стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних фракталів:

  • різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр. Плазма — приклад використання такого фрактала в комп'ютерній графіці.

Фрактальна розмірність межі кривої Коха[ред.ред. код]

Наведений нижче аналіз Сніжинки Коха є прикладом того, як самоподібність може використовуватись для аналізу властивостей фракталу.

Загальна довжина N малих сходинок L дорівнює добуткові NL. При застосуванні до сніжинки Коха отримуємо невизначене число, коли L прямує до 0. Але таке означення не є задовільним, оскільки різні криві Коха мають різні розміри. Вихід полягає в тому, щоб вимірювати ані в метрах (m), ані в квадратних метрах (m2), але в деякому іншому ступені метра, mx. Тепер 4N(L/3)x = NLx, оскільки втричі коротший відрізок потребує в 4 рази більше відрізків, як це видно з малюнку. Єдиним розв'язком цього рівняння є x = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26186. Тому, одиниця вимірювання довжини межі сніжинки Коха дорівнює приблизно m1.26186.

Генерування фракталів[ред.ред. код]

Ціла множина Мандельброта.
Та ж множина, збільшення 6x.
Та ж множина, збільшення 100x.
Та ж множина, збільшення 2000x. Навіть збільшення в 2000 разів розкриває деталі множини Мандельброта, які відтворюють всю множину.

Три поширені методи генерування фракталів:

Класифікація фракталів[ред.ред. код]

Фрактали також можна класифікувати відповідно до їхньої самоподібності. Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:

  • Точна самоподібність — Це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність.
  • Майже самоподібність — Слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.
  • Статистична самоподібність — Це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення «фракталів» просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними.

Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є фракталами; наприклад, числова вісь (евклідова пряма) є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність Гаусдорфа та топологічна розмірність дорівнюють одиниці, вона не є фракталом.

Об'єкти, що володіють фрактальними властивостями, в природі[ред.ред. код]

У живій природі:

У неживій природі: 

  • Межі географічних об'єктів (країн, областей, міст); 
  • Хмари; 
  • Утворені на склі візерунки; 
Фрактальна папороть, обчислена з використанням системи ітераційних функцій.

Дерева та папороті є фрактальними за своєю природою та можуть моделюватись на комп'ютерах із використанням рекурсивних алгоритмів. Таку рекурсивність ясно видно на таких прикладах: гілка дерева або фронд від папороті є мініатюрним відтворенням цілого; не ідентичне, але схоже за природою.

Поверхня гір може моделюватись на комп'ютері з використанням фракталів: починати з трикутника в тривимірному просторі та з'єднати центральні точки кожного ребра відрізками, отримуючи 4 трикутники. Центральні точки потім зсуваються догори або донизу на випадкову відстань у фіксованому діапазоні. Процедура повторюється зі зменшенням діапазону на кожній ітерації вдвічі. Рекурсивна природа алгоритму гарантує, що ціле є статистично подібним до кожної з деталей.

Застосування[ред.ред. код]

Природничі науки[ред.ред. код]

У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких, як турбулентний плин рідини, складні процеси дифузії — адсорбції, полум'я, хмари тощо Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її при обчисленні протяжності берегової лінії.

Генерація зображень природних об'єктів[ред.ред. код]

Фрактал, який моделює поверхню гори (анімація).

Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній тощо. Алгебричні та стохастичні — для побудови ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних та інших об'єктів.

Механіка рідин[ред.ред. код]

Фракталами добре описуються такі процеси та явища, що стосуються механіки рідин і газів:

Біологія[ред.ред. код]

Фрактальні антени[ред.ред. код]

Фрактальну геометрію для проектування антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будинках. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилось, що така антена працює не гірше за звичайну. Й хоча фізичні принципи роботи такої антени не вивчено досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію й налагодити їхній серійний випуск.

Стиснення зображень[ред.ред. код]

За допомогою фракталів можна стискати великі растрові зображення до частин їхніх нормальних розмірів. Це твердження випливає з теореми Банаха про стискуючі перетворення й є результатом роботи дослідника Технологічного інституту шт. Джорджія Майкла Барнслі.

Коротко метод можна описати таким чином. Зображення кодується кількома простими перетвореннями (в нашому випадкові афінними), тобто визначається коефіцієнтами цих перетворень (в нашому випадкові: A, B, C, D, E та F).

Наприклад, закодувавши якесь зображення двома афінними перетвореннями, ми однозначно визначаємо його за допомогою 12 коефіцієнтів. Якщо тепер задати яку-небудь початкову точку (наприклад, X = 0, Y = 0) та запустити ітераційний процес, то ми після першої ітерації отримаємо дві точки, після другої — чотири, після третьої — вісім і т. д. Через кілька десятків ітерацій сукупність отриманих точок описуватиме закодоване зображення. Але проблема полягає в тому, що дуже важко знайти коефіцієнти перетворень, які кодували б довільне зображення.

Не зважаючи на те, що було створено програмне забезпечення, що реалізує ці алгоритми (наприклад, бібліотеки фрактального стиснення використовуються в Microsoft Encarta), досить ефективного методу не було знайдено досі, а сам Майкл Барнслі продовжує працювати в даному напрямкові.

Децентралізовані мережі[ред.ред. код]

Система призначення IP-адрес в мережі Netsukuku використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного зберігання інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku тримає лише 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол під'єднується до загальної мережі без необхідності в центральному регулюванні роздавання IP-адрес, що, наприклад, є характерним для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення гарантує повністю децентралізовану, а отже, максимально стійку роботу всієї мережі.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела інформації[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Фракталы в физике. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. — М.: Мир, 1988. — 672 с.
  • Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: РХД, 2001. — 128 с.
  • Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. — М.: URSS, 2010. — 280 с.
  • Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Фракталы: от удивления к рабочему инструменту. — К.: Наукова думка, 2013. — 270 с.
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. — М.: Техносфера, 2006. — 488 с.
  • Ландэ Д. В. Фракталы и кластеры в информационном пространстве // Корпоративные системы, (2005) (6) С. 35-39.
  • Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — Ижевск: ИКИ, 2010. — 656 с.
  • Мандельброт Б. Фракталы и хаос. — Ижевск: РХД, 2009. — 400 с.
  • Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. — Ижевск: РХД, 2004. — 256 с.
  • Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Ижевск: ИКИ, 2002. — 160 с.
  • Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: Мир, 1993. — 176 с.
  • Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991. — 254 с.
  • Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. — Ижевск: РХД, 2005. — 528 с.
  • Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. — Wiley, 2003.

Посилання[ред.ред. код]