Алгебра (універсальна алгебра)

Універсальна алгебра (універсальна алгебра заданої сигнатури) — це множина, що називається носієм алгебри, з набором n-арних алгебраїчних операцій, що називаються сигнатурою алгебри. При цьому вважається що для n-арних операцій не задані ніякі аксіоми, які вони повинні задовільняти (аксіоми задаються відношеннями). Розглядаються тільки загальні властивості, що обумовлені сигнатурою.

Якщо ж для операцій деякої універсальної алгебри задано аксіоми, які вони повинні задовільняти, то «універсальність» втрачається і універсальна алгебра перетворюється на конкретну алгебричну структуру.

Приклади

• Універсальна алгебра з однією бінарною операцією називається магмою (чи групоїдом).

Властивості

Для універсальних алгебр справедлива теорема про гомоморфізм. Якщо

$\varphi :A\rightarrow A'$ — гомоморфізм універсальних алгебр,

$\theta$ — ядерна конгруенція $\varphi$ (тобто $\theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}$,

то фактор-структура $A/\theta$ ізоморфна $A'$.

Для універсальних алгебр вивчені супутні структури:

• група автоморфізмів $\mathbf {Aut} A$,
• моноїд ендоморфізмів $\mathbf {End} A$,
• ґратка підалгебр $\mathbf {Sub} A$,
• ґратка конгруенцій $\mathbf {Con} A$, зокрема показано, що для довільної групи $G$ і ґраток $L_{0}$ та $L_{1}$ існує така універсальна алгебра $A$, що

$G\cong \mathbf {Aut} A$,

$L_{0}\cong \mathbf {Sub} A$,

$L_{1}\cong \mathbf {Con} A$.

Див. також

• Підструктура (математика)
• Фактор-структура
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Бурбаки Н. Алгебра ч.1 Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. — М. : ГИФМЛ, 1962. — С. 516. — (Елементи математики)(рос.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
• Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. и др. Общая алгебра / Под ред. Л.А.Скорнякова. — М. : Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (СМБ) — ISBN 5-02-014427-4.(рос.)