Бінарна операція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Біна́рна опера́ція (бінарний оператор) — це математичний об'єкт, що складається з двох величин і певної дії над ними.

Бінарну операцію також називають двоелементною або двомісною операцією. (дивись Містність операції).

Визначення[ред.ред. код]

Бінарною операцією на множині \,S є відображення декартового добутку \,S \times S в множину \,S:

\,f \colon S \times S \rightarrow S.

Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).

Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.

Бінарні операції є наріжним каменем алгебраїчних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.

Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.

За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.

Типи бінарних операцій[ред.ред. код]

Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.

Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.

Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.

Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.

Приклади бінарних операцій[ред.ред. код]

Зовнішні бінарні операції[ред.ред. код]

Зовнішня бінарна операція - це бінарна операція з \,K \times S в \,S. Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".

Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S - векторним простором над цим полем.

Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.

Див. також[ред.ред. код]