Моноїд

Моноїд — алгебраїчна структура з бінарною операцією, що є асоціативною та має нейтральний елемент.

Стисліше, моноїд це півгрупа з нейтральним елементом.

Якщо для елементів моноїда існує обернений елемент тоді це група.

Визначення

Моноїд це множина, S, разом із двомістною операцією “•”, яка зодовільняє трьом наступним аксіомам:

Замкнутість

Для всіх a, b в S, результат операції a • b також в S.

Асоціативність

Для всіх a, b іc в S, виконується рівність (a • b) • c = a • (b • c).

Нейтральний елемент

Існує елемент e в S такий, що для всіх елементів a в S, вірне рівність e • a = a • e = a.

І в математичному записі ми можемо записати це так

• Замкнутість: $\forall a,b \in S: \;\; a \cdot b \in S,$
• Асоціативність: $\forall a,b,c \in S: \;\; (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c),$
• Нейтральний елемент: $\exists e \in S$ такий, що $\forall a \in S: \;\; e \cdot a = a \cdot e = a.$

Символ двомісної операції часто опускається; наприклад аксіоми моноїда вимагають $\ (ab)c = a(bc)$ і $\ ea=ae=a$. Це не обов'язково значить, що змінні або числа будуть перемножені, будь-яка операція може бути використана.