Арифметична функція

Арифметична функція — функція, визначена на множині натуральних чисел $\N$, що приймає значення в множині комплексних чисел $\C$.

Визначення

Як випливає з визначення, арифметичною функцією називається будь-яка функція

$f \colon \N \to \C$

Назва арифметична функція пов'язана з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій $~f(n)$ натурального аргументу $~n$, які виражають ті або інші арифметичні властивості $~n$. Тому, неформально кажучи, під арифметичною функцією розуміють функцію $~f(n)$, яка «виражає деяку арифметичну властивість» натурального числа $~n$ (див. приклади арифметичних функцій нижче).

Багато арифметичних функцій, що розглядаються в теорії чисел, насправді приймають цілочислові значення.

Операції і зв'язані поняття

• Сумою арифметичної функції $f$ називають функцію $F:[0,+\infty)\to \C$, визначену як

$F(x)=\sum_{n\le x} f(n).$

Ця операція є «дискретним аналогом» невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на $\N$, її суму виявляється зручним вважати визначеною на всій додатній півосі (при цьому вона, природно, кусково-стала).

• Згорткою Діріхле двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом

$\ h(n)=\sum_{d|n} f(d) g(n/d).$

• Арифметичній функції f можна зіставити її генератрису—ряд Діріхле

$\ \Phi_f(s)=\sum_n f(n)n^{-s}.$

При цьому згортці Діріхле двох арифметичних функцій відповідає добуток їх генератрис.

• Поточкове множення на логарифм

$f\mapsto f', \quad f'(n)=f(n) \cdot \ln n,$

є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: відносно згортки воно задовольняє правилу Лейбніца

$\ (f*g)' = f'*g + f*g'.$

Перехід до генератриси, перетворює цю операцію на звичайне диференціювання.

Відомі арифметичні функції

Кількість дільників

Арифметична функція $~\tau \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ визначається як число додатнних дільників натурального числа $~n$:

$~\tau(n) = \sum_{d|n} 1$

Якщо $~m$ і $~n$ взаємно прості, то кожен дільник добутку $~mn$ може бути єдиним чином поданий у вигляді добутку дільників $~m$ і $~n$, і навпаки, кожне такий добуток є дільником $~mn$. Звідси випливає, що функція $~\tau$ мультиплікативна:

$~\tau(mn) = \tau(m)\tau(n)$

Якщо $~n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{s_i}$ — розклад на прості множники натурального числа $~n$, то зважаючи на мультиплікативність

$~\tau(n) = \tau(p_1^{s_1})\tau(p_2^{s_2}) \ldots \tau(p_r^{s_r})$

Але додатними дільниками числа $p_i^{s_i}$ є $~s_i+1$ чисел $1, p_i, \ldots, p_i^{s_i}$.

Відповідно

$~\tau(n) = (s_1+1) (s_2+1) \ldots (s_r+1)$

Сума дільників

Функція $\sigma \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ визначається як сума дільників натурального числа $~n$:

$~\sigma (n) = \sum_{d|n} d$

Узагальнюючи функції $~\tau(n)$ і $~\sigma(n)$ для довільного, взагалі кажучи комплексного $~k$ можна визначити $~\sigma_k(n)$ — суму $k$-их степенів додатних дільників натурального числа $~n$:

$~\sigma_k (n) = \sum_{d|n} d^k$

Використовуючи нотацію Айверсона можна записати

$~\sigma_k(n) = \sum_{d} d^k[\,d|n\,]$

Функція $~\sigma_k$ мультиплікативна:

$m \perp n \Rightarrow ~\sigma_k (mn) = \sigma_k (m) \sigma_k (n)$

Якщо $~n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{s_i}$ — розклад на прості дільники натурального числа $~n$, то

$~\sigma_k(n) = \prod_{i=1}^r \frac {p_i^{(s_i+1)k}-1} {p_i - 1}$

Функція Ейлера

Функція Ейлера $\varphi(n)$, визначається як кількість додатних цілих чисел, що не є більшими за $~n$, і є взаємно простими з $~n$.

Користуючись нотацією Айверсона можна записати:

$\varphi(n) = \sum_{1 \leq k \leq n} [k \perp n]$

Функція Ейлера мультиплікативна:

$m \perp n \Rightarrow ~\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)$

У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:

$\varphi (n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1} \right) \left(1 - \frac{1}{p_2} \right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_r} \right)$

де $p_1, p_2, \ldots, p_r$ — різні прості дільники $~n$.

Функція Мебіуса

Функцію Мебіуса $~\mu(n)$ можна визначити як арифметичну функцію, що задовольняє наступній властивості:

$\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1\\ 0,&n>1 \end{cases}$

Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх дільниках цілого додатного числа $~n$ рівна нулю, якщо $~n>1$, і рівна $~1$, якщо $~n=1$.

Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою:

$\mu(n) = \begin{cases} (-1)^r, & n = p_1 p_2 \ldots p_r \\ 0, & p^2 | n \\ 1, & n=1 \end{cases}$

Тут $p_i$ — різні прості числа $p$ — просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса $\mu(n)$ рівна $0$, якщо $n$ не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і рівна $~\pm 1$ інакше (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників $~n$).

Функція Мебіуса є мультиплікативною функцією.

Див. також

• Алгебраїчна функція
• Аналітичні функції
• Раціональні функції
• Трансцендентні функції

Література

• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.