Власна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вла́сною фу́нкцією лінійного оператора L із власним значенням \lambda називається така ненульова функція  f , для якої виконується співвідношення

 L(f) = \lambda f,

де  \lambda це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора L на його власну функцію f зводиться до множення f на число  \lambda. Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко застосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо L — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.

Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням \lambda, то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора L належить до спектра L, але взагалі спектр оператора містить також  \lambda, що не є власними числами.

Приклади[ред.ред. код]

1. Розглянемо зміну напрямку  x\mapsto -x на числовій осі \mathbb{R}. Це — відображення \mathbb{R} до себе, що приводить до лінійного оператора S, що діє на функціях на \mathbb{R} за формулою

Sf(x)=f(-x).

Власними функціями S є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції 0. Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значень і складається із двох чисел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.

2. Для оператора похідної  \frac{d}{dx} у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної x, експоненціальна функція  e^{kx}, k\in\mathbb{R} є власною функцією із власним значенням k. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка фунція ☃☃ що задовольняє

\frac{df}{dx}=kf,

має вигляд f(x)=Ce^{kx}, тобто пропорційна e^{kx}. Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє \frac{d}{dx}, до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція  \frac{d}{dx} пропорційна комплексній експоненціальній функції  e^{kx}, k\in\mathbb{C}.

3. Поліноми Лежандра

P_l(z)=\frac{(-1)^l}{2^l l!}\frac{d^l}{dz^l}(1-z^2)^l

є власними функціями диференціального оператора

L=(1-z^2)\frac{d^2}{dz^2}-2z\frac{d}{dz}

з власними значеннями \lambda=-l(l+1). Ці функції — скінченні у точках z=\pm 1, і будь-яка власна функція L скінченна у z=\pm 1 пропорційна до певного P_l(z), l=0,1,2,\ldots.

Див. також[ред.ред. код]