Аналітична геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Аналіти́чна геоме́трія, розділ геометрії, у якому властивості геометричних образів (точок, ліній, поверхонь) установлюються засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом вивчення властивостей рівнянь, графіками яких є ці образи.

Аналітична геометрія — розділ геометрії, що вивчає властивості геометричних фігур засобами елементарної алгебри (в ширшому розумінні — засобами математичного аналізу), пов'язуючи їх з застосуванням методу координат. Основні положення аналітичної геометрії вперше сформулював філософ і математик Р. Декарт. Г. Лейбніц, І. Ньютон і Л. Ейлер надали аналітичній геометрії сучасної структури.

Характерною особливістю аналітичної геометрії є визначення геометричних фігур рівняннями. Нехай на площині з осями координат OX і OY (прямокутна декартова система координат) маємо лінію l. Якщо вздовж l пересувати точку M, то координати x, y цієї точки будуть змінюватись, але між ними існуватиме певна залежність, яку можна записати у вигляді рівняння:

,

де f(x, y) є математичний вираз, що містить змінні x і y або одну з них.

Наприклад, з прямокутного трикутника OMP виводимо, що рівняння кола K радіуса г з центром в початку координат 0 є

x² + y² − r² = 0.

Розглянемо ще пряму АВ. Якщо М є довільна її точка і OA = a, OB = b, то PA = a — x. З подібності прямокутних трикутників MPA і BOA маємо:

.

Звідси дістаємо рівняння прямої АВ:

.

В аналітичній геометрії приймають, що рівняння визначає геометричну фігуру як множину точок, координати х та у яких справджують це рівняння. Інакше кажучи, рівняння розглядають як засіб для поділу точок площини на 2 класи: до 1-го належать точки, координати яких справджують дане рівняння (ці точки утворюють визначену рівнянням фігуру), до 2-го— всі інші точки площини. Якщо рівняння алгебраїчне, то воно визначає лінію — дійсну чи уявну (див. нижче), яку називають алгебраїчною, а степінь рівняння — порядком цієї лінії. Порядок алгебраїчної лінії не залежить від того, як розміщені відносно неї осі координат. Прямі і тільки прямі є лініями 1-го порядку; конічні перерізи (тобто лінії, що утворюються при перетині конусу площиною) і тільки вони є лініями 2-го порядку. Аналогічно рівняння f(x,y,z) = 0, де х, у, z -декартові координати точки у просторі, визначає просторову фігуру, зокрема алгебраїчну поверхню n-го порядку, якщо воно є алгебраїчним рівнянням n-го степеня. В сучасних курсах аналітичної геометрії вивчаються тільки лінії і поверхні 1-го та 2-го порядків.

Застосування в аналітичній геометрії алгебраїчних методів привело до поняття уявної фігури. Сукупність двох чисел х, у, з яких принаймні одно уявне, можна розглядати як уявну точку. Якщо рівняння (наприклад , x² + y² + 1 = 0) справджують лише координати уявних точок, то вважають, що воно визначає уявну фігуру. Хоч поняттям нескінченно віддалених і уявних точок не відповідають жодні реальні образи, проте запровадження їх дозволило глибше досліджувати властивості фігур.

В сучасних курсах аналітичної геометрії широко використовується апарат векторного числення.

[ред.] Література

• Українська радянська енциклопедія
• Білоусова В. П. та ін. Аналітична геометрія. К., 1957;
• Привалов И. И. Аналитическая геометрия. Изд. 22. М., 1957;
• Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, т. 1—2. М.—Л., 1948—49.

Цю статтю необхідно відформатувати, використовуючи мову розмітки Вікі. Ви можете допомогти проекту, зробивши це!