Відокремлюваний морфізм схем

У алгебричній геометрії поняття відокремлюваних схем є певною мірою аналогом гаусдорфових просторів у загальній топології. Зокрема топологічний простір $X$ є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли діагональ $\{(x,x)\in X\times X\}$ є замкнутою у $X\times X$. Стандартне означення гаусдорфових просторів не має особливого змісту для схем. Зокрема для афінної схеми ${\rm {Spec}}R$ із топологією Зариського, якщо нільрадикал кільця R є простим ідеалом, то перетин довільних двох відкритих множин є непустим.

Натомість перенесення означення за допомогою діагоналі приводить до змістовних понять відокремлюваних схем і морфізмів.

Означення

Нехай $X\to S$ морфізм схем і $p,q\colon X\times _{S}X\to X$ проєкції розшарованого добутку $X$ з собою на компоненти. Згідно з універсальною властивістю розшарованого добутку існує єдиний морфізм $S$-схема $\Delta _{X/S}\colon X\to X\times _{S}X$ для якого $p\circ \Delta _{X/S}={\rm {Id}}_{X}=q\circ \Delta _{X/S}$. Цей морфізм називається діагональним морфізмом для $X$ над $S$. Образ цього морфізму називається діагоналлю $X\times _{S}X$.

Морфізм схем $X\to S$ називається відокремлюваним морфізмом якщо діагональ $X\to X\times _{S}X$ є замкнутою множиною.

$S$-схема $X$ називається відокремлюваною якщо структурний морфізм $X\to S$ є відокремлюваним.

Схема $X$ називається відокремлюваною схемою якщо канонічний морфізм $X\to {\rm {Spec}}\ \mathbb {Z}$ є відокремлюваним.

Приклади

• Усі афінні схеми є відокремлюваними. Більш загально будь-який морфізм афінних схем $X={\rm {Spec}}\ A$ $Y={\rm {Spec}}\ B$ є відокремлюваним.

Будь-який морфізм афінних схем породжується гомоморфізмом кілець $\varphi :B\to A.$ Розглядаючи кільце A як B-алгебру через це відображення можна записати $X\times _{Y}X={\rm {Spec}}(A\otimes _{B}A).$ Діагональний морфізм:

$\Delta :X\to X\times _{Y}X$

відповідає гомоморфізму

$\psi :A\otimes _{B}A\to A:\ a\otimes _{B}b\to ab.$

Оскільки $\psi$ є очевидно сюр'єктивним гомоморфізмом то $\Delta$ є замкнутою іммерсією і морфізм є відокремлюваним. Якщо взяти $Y={\rm {Spec}}\ \mathbb {Z}$ то одержується твердження для афінних схем.

• Дві копії $X={\rm {Spec}}k[x]$ і $Y={\rm {Spec}}k[y]$ афінної при ідентифікації відкритих множин $X\setminus \{0\}={\rm {Spec}}k[x,1/x]$ і $Y\setminus \{0\}={\rm {Spec}}k[y,1/y]$ утворюють невідокремлювану схему над ${\rm {Spec}}k$. Дана схема називається афінною прямою із подвоєним початком координат.

Дійсно позначаючи цю схему Z одержуємо, що $Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z$ можна отримати із чотирьох афінних площин ${\rm {Spec}}k[x,y]$ в яких усі точки окрім початку координат ідентифікуються. Таким чином у початку координат є чотири точки. Замикання у $Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z$ діагоналі афінної площини без початку координат міститьусі чотири точки в початку координат $Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z.$

Натомість діагональний морфізм $\Delta Z\to Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z$ одержується склеюванням діагональних морфізмів $\Delta _{1}X\to X\times _{{\rm {Spec}}k}X$ і $\Delta _{2}Y\to Y\times _{{\rm {Spec}}k}Y.$ Образом $\Delta (Z)$ при цьому є діагональ без початку координат і дві точки у початку координат. Цей образ не є замкнутою множиною.

Властивості

• Замкнуті і відкриті іммерсії є відокремлюваними морфізмами.
• Якщо $X\to S$ є відокремлюваним морфізмом, то для всіх $T\to S$ морфізм (забіна бази) $X\times _{S}T\to T$ є відокремлюваним.
• Розшарований добуток $X\times _{S}Y$ відокремлюваних $S$-схем є відокремлюваною $S$-схемою.
• Композиція відокремлюваних морфізмів є відокремлюваним морфізмом.
• Твердження нижче є еквівалентними:

1. $X$ є відокремлюваною схемою;
2. існує відокремлюваний морфізм $X\to {\rm {Spec}}\ A$ у деяку афінну схему;
3. кожен морфізм $X\to {\rm {Spec}}A$ є відокремлюваним.

• Якщо $\scriptstyle f,g\colon X\to Y$ є морфізмами із редукованої схеми $X$ у відокремлювану схему $Y$ і існує щільна відкрита множина $U$ для якої $f|_{U}=g|_{U}$, то $f=g$.
• Нехай $f\colon X\to Y$ є морфізмом $S$-схем і $Y$ є відокремлюваною над $S$. Тоді граф морфізма $f$ є замкнутою множиною у $X\times _{S}Y$. Графом морфізма $f$ за означенням є образ морфізма $({\rm {Id}}_{X},f)\colon X\to X\times _{S}Y$.
• Алгебричні групи є завжди відокремлюваними.

Література

• Ueno, Kenji (1999), Algebraic geometry I. From algebraic varieties to schemes, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 9780821808627