Досконале поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Досконале полеполе F, будь-який многочлен над яким є сепарабельним. Інакше кажучи, будь-яке алгебраїчне розширення поля Fсепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими.

Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді і тільки тоді коли F = Fp, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими.

Будь-яке алгебраїчне розширення досконалого поля теж є досконалим полем.

Приклад недосконалого поля — поле Fq(X) раціональних функцій над полем Fq, де F q — поле з q=pn елементів. Досконале поле k збігається з полем інваріантів групи всіх k-автоморфізмів алгебраїчного замикання поля k.

Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням \bar F поле

F^{p^{-\infty}} = \cup_n F^{p^{-n}} \subset \bar p

є найменшим досконалим полем, що містить F. Воно називається досконалим замиканням поля F в \bar F.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]