Досконале поле

Досконале поле — поле F, будь-який многочлен над яким є сепарабельним. Інакше кажучи, будь-яке алгебраїчне розширення поля F — сепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими.

Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді і тільки тоді коли F = F^p, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими.

Будь-яке алгебраїчне розширення досконалого поля теж є досконалим полем.

Приклад недосконалого поля — поле F_q(X) раціональних функцій над полем F_q, де F _q — поле з q=pⁿ елементів. Досконале поле k збігається з полем інваріантів групи всіх k-автоморфізмів алгебраїчного замикання поля k.

Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням $\bar F$ поле

$F^{p^{-\infty}} = \cup_n F^{p^{-n}} \subset \bar p$

є найменшим досконалим полем, що містить F. Воно називається досконалим замиканням поля F в $\bar F$.

Див. також

• Досконале число

Література

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Зарисский О., Самюэль П. (1963). Коммутативная алгебра. том I. Москва: ИЛ. с. 373. 
• Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965;