Сепарабельне розширення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сепарабельне розширенняалгебраїчне розширення поля L/K, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f'(x) повинна бути по вищезгаданому ненульовим многочленом. За визначенням, всі поля характеристики 0 сепарабельні, тому поняття сепарабельності нетривіальне лише для полів ненульової характеристики p.

Для скінченних розширень маємо наступну теорему:

Якщо K ⊆ L ⊆ K*, де K*алгебраїчне замикання поля К, то L сепарабельне тоді і тільки тоді, коли число різних ізоморфізмів σ L в замикання, алгебри K*, над K рівне степеню [L:K]. У разі несепарабельних розширень це число є дільником [L:K] і називається сепарабельним степенем [L:K]s.

Властивості сепарабельних розширень[ред.ред. код]

Нехай K ⊆ L ⊆ F. Якщо L/K і F/L сепарабельні, то і F/K сепарабельне. Навпаки, якщо F/K сепарабельне, то і L/K і F/L сепарабельні.

Якщо L/K сепарабельне, то для будь-якого розширення F/K (якщо F і L містяться в деякому полі) добуток полів LF є сепарабельним розширенням K.

Теорема про первісний елемент:

Якщо L=K(α12...αn) , де α1 — алгебраїчний (не обов'язково сепарабельний) над K, а α2...αn — алгебраїчні і сепарабельні, то існує такий елемент θ, що L=K(θ) (т.з. первісний або примітивний елемент).

Узагальнення сепарабельності на неалгебраїчні розширення[ред.ред. код]

Спочатку введемо поняття лінійної незалежності двох розширень L/K і E/K, де поля L і E є підполями деякого L називається лінійно незалежним від E над K, якщо будь-яка скінченна множина елементів L лінійно незалежна над K залишається лінійно незалежним і над L. Легко доводиться симетричність цього визначення: якщо L лінійно незалежне від E над K, то і навпаки, E лінійно незалежне від L над K.

Позначимо K^{p^{-m}}розширення поля, породжене приєднанням всіх коренів степеня pm з елементів K. Розширення L над K називається сепарабельним, якщо L для деякого натурального m лінійне незалежне від K^{p^{-m}} над K. Для алгебраїчних розширень, це визначення еквівалентно звичайному. Можна довести, що від числа m дане визначення не залежить і рівносильно лінійній незалежності L і K^{p^{-\infty}} - добутку всіх K^{p^{-m}}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]