Автоморфізм

Автоморфізм моделі — ізоморфізм, який відображає модель на саму себе.

Сукупність усіх автоморфізмів деякої моделі з операцією композиції і тотожним відображенням в якості нейтрального елемента утворює групу.

Група автоморфізмів моделі $K$ позначається $\operatorname{Aut}K$.

• Автоморфізм множини — перестановка елементів цієї множини.
• Автоморфізм групи — ізоморфізм групи на себе.

Автоморфізм називається внутрішнім, якщо існує такий елемент $a$, що $Auth(G)_a(x)=axa^{-1}$, а в іншому випадку він називається зовнішнім. Множина всіх внутрішніх автоморфізмів групи G є підгрупа групи всіх автоморфізмів, причому $Auth(G)_a*Auth(G)_b=Auth(G)_{ab}$.

Множина автоморфізмів групи Лі також утворює групу Лі.

Визначення

Алгебраїчні структури

$(A,(f_i))$ є алгеброїчною структурою $A$ разом з кінцевим числом потоків $(f_i)$. Можуть бути алгебраїчні структури, такі як векторний простір $(A, (+, \cdot))$, група $(A, *)$ або кільце $(A, ( +, *))$. Тоді під алгеброю розуміється автоморфізм $\phi \colon A \to A$ взаємно однозначне відображення множини $A$ на себе, яка є лінійною, це означає що: $\phi\left(f_i(a_1,\ldots,a_{\sigma_i})\right) = f_i(\phi(a_1),\ldots,\phi(a_{\sigma_i}))$ для всіх $a_1, \ldots , a_{\sigma_i} \in A$. Зворотна функція $\phi^{-1} : A \to A$ в цих умовах є автоматично лінійною.

Категорія теорій

Нехай $X$ об'єкт. Морфізм $f\colon X\to X$ є автоморфізмом, якщо він є двосторонньо оберненим $g\colon X\to X$. Тобто, відповідне відображення $g\colon X\to X$ існує, так що виконуються: $f\circ g=\operatorname{id}_X$ і $g\circ f=\operatorname{id}_X$.

Автоморфізм груп

Група автоморфізмів групи $G$ позначається $\operatorname{Aut}G$. Відображення $\alpha_g(x)=gxg^{-1}$ автоморфізм групи, такі автоморфізми групи називаються внутрішніми. Множина внутрішніх автоморфізмів позначається $\operatorname{Int}G$. Оскільки $\alpha_g\alpha_h=\alpha_{hg}$ та $\alpha_g\alpha_h\alpha_g^{-1}=\alpha_{g^{-1}hg}\in\operatorname{Int}G$, то $\operatorname{Int}G$ - нормальна підгрупа в $\operatorname{Aut}G$. Факторгрупа $\operatorname{Out}G=\operatorname{Aut}G/\operatorname{Int}G$ називається групою зовнішніх автоморфізмів групи, а її елементи - зовнішніми автоморфізмами. Відображення $g\to\alpha_h$ визначає гомоморфізм $G\to\operatorname{Int}G$, ядро якого є центр групи $Z(G)$, так що $\operatorname{Int}G\cong G/Z(G)$. Всі нормальні підгрупи інваріантні під дією внутрішніх автоморфізмів. Підгрупи, інваріантні під дією всіх автоморфізмів групи, називаються характеристичними.

Всяка група, що збігається зі своєю групою автоморфізмів, називається досконалою. Досконалими є всі симетричні групи $S_n$ при $n\neq 2;6$. Розширення групи, за допомогою групи автоморфізмів, називається голоморфом.

Приклади

• $\operatorname{Aut}\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}_2$
• $\operatorname{Aut}\mathbb{Q}^+ = \mathbb{Q}^{\times}$
• $\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_n^+ = \mathbb{Z}_{\varphi(n)}$
• $\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_p^{\times} = \mathbb{Z}^+_{\varphi(p-1)}$
• $\operatorname{Aut}S_n = S_n, n\neq 2;6$, * $\operatorname{Out}S_6 = \mathbb{Z}_2$
• $\operatorname{char}K>2\Rightarrow\operatorname{Aut}\operatorname{GL}_n(K) = \operatorname{SL}_n(K), K$ - поле характеристики большей 2.

Автоморфізми графів

Найменша асиметричне дерево

Найменший асиметричний граф

Автоморфізм графу є відображення безлічі вершин графу на себе, що зберігає суміжність. Множина таких автоморфізмів утворює вершинну групу графа або просто групу графа. Група підстановок на множині ребер називається реберною групою графа, яка тісно пов'язана з вершинною:

Реберна і вершинна групи графу ізоморфні тоді і тільки тоді, коли є не більше однієїізольованої вершини і немає компонент зв'язності, які складаються з єдиного ребра.

Граф, для якого єдиний можливий автоморфізм це тотожне відображення, називається асиметричним. Найменше асиметричне дерево має сім вершин, а найменший асиметричний граф шість вершин і стільки ж ребер.

Для будь-якої кінцевої групи знайдеться такий кінцевий неорієнтований граф, що його група автоморфізмів ізоморфна даній. Результат отриманий Р. Фрухтом, в основі докази - перетворення кольорового графа групи, узагальнення графа Келі.

Див. також

• Ізоморфізм груп
• Ізоморфізм
• Гомоморфізм груп
• Теореми про ізоморфізми

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Кон П. (1968). Универсальная алгебра. Москва: Мир. с. 351.