Дія групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ді́я групи G на множині X — це відображення

 G\times X\to X, \quad (g,x)\mapsto gx,

що має властивості:

  • \ g(hx)=(gh)x
  • \ ex=x

для всіх g,h\in G, x\in X, де \ e — це нейтральний елемент  G.

З аксіом групи випливає, що для кожного g\in G, відображення множини \ X до себе за формулою x\mapsto gx є бієкцією або автоморфізмом \ X.

Типи дій[ред.ред. код]

  • Вільна, якщо для будь-яких g,\;h\in G не рівних між собою і довільного m\in M виконується \ gm \ne hm.
  • Транзитивна якщо для будь-яких m,\;n\in M існує g\in G такий, що gm=n, тобто якщо Gm=M для довільного m\in M.
  • Ефективна, якщо для довільних g,\;h\in G існує m\in M такий, що gm\ne hm.

Орбіти елементів[ред.ред. код]

Підмножина

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

називається орбітою елемента m\in M.

Дія групи G на множині M визначає на ній відношення еквівалентності

\forall n,\;m\in M\;(n\sim_G m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).

Стабілізатор[ред.ред. код]

Підмножина

G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

є підгрупою групи G і називається стабілізатором елемента m\in M.

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо n\sim_G m, то існує такий елемент g\in G, що

G_m=gG_ng^{-1}.

Кількість елементів в орбіті[ред.ред. код]

Загальна кількість елементів в орбіті елемента m\in M визначається за формулою:

|Gm|=[G:G_m], де G_m — стабілізатор елемента m і [G:G_m]індекс підгрупи G_m\subset G, що для скінченних груп рівний \frac{|G|}{|G_m|}.

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого g\in G. Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то g^{-1}{2}g{1}\in H і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді g^{-1}{2}g{1}\in H і згідно з означенням стабілізатора g^{-1}{2}g{1}x=x, звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k, то

|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

  1. \forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;
  2. \sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;
  3. Лема Бернсайда

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]