Збіжність за мірою

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Збіжність за мірою (за ймовірностю) у функціональному аналізі, теорії ймовірності і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій (випадкових величин) заданих на просторі з мірою (ймовірнісному просторі).

Визначення[ред.ред. код]

Хай (X,\mathcal{F},\mu) — простір з мірою f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій \{f_n\}_{n=1}^{\infty} збігається за мірою до функції f, якщо: \forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0 .

Позначення: f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow}  f.

У термінах теорії ймовірності, якщо даний імовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) з визначеними на ньому випадковими величинами X_n,X,\; n=1,2,\ldots, то говорять, що \{X_n\}_{n=1}^{\infty} збігається за ймовірностю до X, якщо

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.

Позначення: X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X.

Зауваження[ред.ред. код]

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

Властивості збіжності за мірою[ред.ред. код]

  • Якщо послідовність функцій f_n збігається за мірою до f, то в неї існує підпослідовність f_{n_k}, що збігається до f \mu - майже всюди.
  • Якщо послідовність функцій f_n збігається за мірою до f, і \forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g, де g \in L^p,\; p \geqslant 1, то f_n, f \in L^p, і f_n збігається до f у L^p.
  • Якщо послідовність функцій f_n збігається \mu-майже усюди до f, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність функцій f_n збігається в L^p до f, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність випадкових величин X_n збігається за ймовірністю до X, то вона збігається до X і за розподілом.