Імовірність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ймові́рність (лат. probabilitas, англ. probability) — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділу математики, що називається теорія імовірностей.

Випадковою подією називається подія, результат якої не може бути відомий наперед. Навіть у тому разі, коли насправді подія детермінована своїми передумовами, вплив цих передумов може бути настільки складним, що вивести з них наслідок логічно й послідовно, неможливо. Наприклад, при підкидуванні монети, сторона на яку монета впаде визначається положенням руки і монети в руці, швидкістю, обертовим моментом тощо, однак відслідкувати всі ці фактори неможливо, тому результат можна вважати випадковим.

Існують два підходи до означення імовірності: математично-аксіоматичний і Баєсів. Аксіоматичний підхід, строго сформульований Колмогоровим, будується на припущенні, що імовірності елементарних випадкових подій задані, і зосереджується на визначенні ймовірностей складних подій, що є сукупністю елементарних. Так, наприклад, при підкидуванні шестигранного кубика гральної кості, ймовірності випадіння будь-якого числа, вважаються однаковими й рівними 1/6. Виходячи з цієї аксіоми, теорія ймовірності може розрахувати ймовірність того, що сума чисел на двох костях буде, наприклад, 8.

Баєсів підхід не робить припущень про ймовірності елементарних подій, а намагається отримати їх із аналізу попереднього досвіду, спираючись на теорему Баєса і на попередні гіпотези. Баєсів підхід ближчий до того, як визначаються імовірності випадкових подій у природознавстві. Оскільки ці ймовірності наперед невідомі, результати серії дослідів розбиваються на сприятливі й несприятливі, і експериментально визначена ймовірність дорівнює відношенню числа сприятливих подій до числа дослідів, тобто частоті подій.

Надалі в цій статті використовується аксіоматичний математичний підхід.

Означення[ред.ред. код]

Нехай Ω = {ω1, ω2 , … , ωn} — простір елементарних подій. Припустімо, що кожній елементарній події ωk можна поставити у відповідність невід’ємне число pk (імовірність події ωk ), причому \sum_{k=1}^n p_k = 1 .

Якщо  A\, випадкова подія і  A \subset \Omega , то

p(A) = \sum_{\omega_k \in A} p_k ,

де p(A)\, називається імовірністю події  A\, .

Визначення термінів[ред.ред. код]

  • Умовна імовірність P_A(B) — імовірність події B, вирахувана в припущенні, що подія А вже відбулася.
  • Несумісні події — дві випадкові події, якщо вони не можуть відбутися одночасно. Якщо події А та В несумісні, то A \cap B = \empty
  • Повна група подій - система випадкових подій така, що в результаті проведеного випадкового експерименту неодмінно станеться одне з них.

Властивості[ред.ред. код]

  • Імовірність достовірної події дорівнює 1.
  • Імовірність неможливої події дорівнює 0.
  • Імовірність випадкової величини є позитивним числом, що міститься між нулем та одиницею.
0 \le P(A) \le 1

Теорема додавання імовірностей[ред.ред. код]

  • Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій
P(A \cup B) = P(A) + P(B), якщо А та В несумісні (адитивність)
  • Сума імовірностей подій Ω = {ω1, ω2 , … , ωn}, що складають повну групу (сукупність єдино можливих подій), дорівнює одиниці
P(\Omega) = 1\,.
  • Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу
P(A) + P(\bar{A}) = 1
  • Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \,
  • Принцип практичної неможливості малоімовірних подій: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не наступить. Цей принцип використовується при розв'язку практичних задач. Достатньо малу ймовірність, при якій (в конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості.

Теорема добутку імовірностей[ред.ред. код]

  • Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій
P(AB) = P(A) P(B) \,
  • Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку імовірностей даних подій
P(A_1A_2...A_n) = P(A_1) P(A_2)...P(A_n) \,
  • Імовірність появи хоча б однієї з подій A_1,A_2...A_n, незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій \bar{A_1}\bar{A_2}...\bar{A_n}
P(A)=1 - q_1q_2...q_n \,
  • Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.
P(AB)=P(A) P_A(B) \,

Формула повної імовірності[ред.ред. код]

Нехай подія А може настати при умові появи однієї з несумісних подій B_1, B_2, ..., B_n, що утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності P_{B_1}(A), P_{B_2}(A), ..., P_{B_n}(A) події А.

Теорема: Імовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій B_1, B_2, ..., B_n, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)P_{B_n}(A)

Теорема Баєса[ред.ред. код]

Докладніше: Теорема Баєса

Теорема Баєса дозволяє переоцінити імовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, внаслідок якого з’явилась подія А.

Нехай подія А може настати за умови появи однієї з несумісних подій B_1, B_2, ..., B_n, що утворюють повну групу. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності.

P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)P_{B_n}(A)

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Поставимо своєю задачею визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія А вже настала) імовірності гіпотез. Іншими словами, будемо шукати умовні ймовірності P_A(B_1), P_A(B_2), ..., P_A(B_n)

Знайдемо спочатку умовну ймовірність P_A(B_1). За теоремою множення маємо

P(AB_1)=P(A)*P_A(B_1)=P(B_1)*P_{B_1}(A)

Звідси

P_A(B_1) = \tfrac{P(B_1)*P_{B_1}(A)}{P(A)}

Розкриваючи P(A) за формулою повної імовірності, отримаємо:

P_A(B_1) = \tfrac{P(B_1)*P_{B_1}(A)}{P(B_1)*P_{B_1}(A) + P(B_2)*P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)*P_{B_n}(A)}


Аналогічно виводяться формули, що визначають умовні ймовірності інших гіпотез, тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези Ві (і=1, 2, ..., n) може бути обчислена за формулою

P_A(B_i) = \tfrac{P(B_i)*P_{B_i}(A)}{P(B_1)*P_{B_1}(A) + P(B_2)*P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)*P_{B_n}(A)}

Історія[ред.ред. код]

Історично вивчення імовірності починалось із вивчення стратегій для азартних ігор. Науковий підхід до вивчення починався із робіт Джироламо Кардано, П'єра Ферма, Блеза Паскаля (1654), Християна Гюйгенса (1657), Якоба Бернуллі (1713), Абрахама де Муавра (1718), Томаса Баєса (теорема Баєса) та ін.

Надалі теорія імовірності розвивалась для потреб оцінки похибок вимірювань в фізичних експериментах. П'єр-Симон Лаплас (1774) першим спробував застосувати закони імовірності для результатів вимірювань. Даніель Бернуллі (1778) застосував теорію імовірностей в економіці для оцінки ризиків. Адрієн-Марі Лежандр (1805) розробив метод найменших квадратів для знаходження найкращого наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Карл Фрідріх Гаус в 1809 довів закон про нормальний розподіл похибок вимірювань.

Також теорія імовірності розвивалась для потреб статистичної фізики: Джеймс Максвелл, Людвіг Больцман, Альберт Ейнштейн та ін.

Андрій Марков ввів поняття ланцюгів Маркова для стохастичних процесів (1906).

Сучасна теорія ймовірностей, яка базується на теорії міри, була розроблена Андрієм Колмогоровим в 1931 році.

Імовірність і квантова фізика[ред.ред. код]

У квантовій механіці стан системи (частки) характеризується хвильовою функцією (загалом кажучи вектором стану) - комплекснозначною функцією "координат", квадрат модуля якої інтерпретується як щільність імовірності отримання заданих значень "координат". Відповідно до сучасних уявлень імовірнісне визначення стану є повним і причиною імовірнісного характеру квантової фізики не є які-небудь "приховані" чинники - це пов'язано з природою самих процесів. У квантовій фізиці виявляються можливими будь-які взаємоперетворення різних частинок, не заборонені тими чи іншими законами збереження. І ці взаємоперетворення підпорядковуються закономірностям - імовірнісним закономірностям. За сучасними уявленнями принципово неможливо передбачити ні момент взаємоперетворення, ні конкретний результат. Можна лише говорити про ймовірності тих чи інших процесів перетворення. Замість точних класичних величин у квантовій фізиці можлива тільки оцінка середніх значень (математичних сподівань) цих величин, наприклад, середній час життя частинки.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай підкидають симетричний шестиграний кубик із нанесеними на гранях цифрами від 1 до 6. Тоді як простір елементарних подій Ω природньо розглянути множину випадіння можливих цифр Ω = {1,2,3,4,5,6}. Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія ωі = і є рівноможливою, тому припишемо їй імовірність 1/6. Тим чином побудовано ймовірнісну модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо А - випадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке випало, кратне трьом, тобто А = {3,6}, то Р(А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]