Квант магнітного потоку

Квант магнітного потоку
Числове значення	0 вебер
Формула	$\Phi _{0}={\frac {h}{2e}}$
Позначення у формулі	$\Phi _{0}$, $h$ і $e$
Символ величини (LaTeX)	$\Phi _{0}$
Фізична величина	магнітний потік
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Ква́нт магні́тного пото́ку одинична порція магнітного потоку, яка може існувати всередині надпровідникового зразка з тороїдальною топологією.

CODATA значення		Одиниці
Φ0	2.067833 848 … × 10−15	Вб
KJ	483597,8484… × 109	Гц/В
KJ-90	483597,9 × 109	Гц/В

Квант магнітного потоку дорівнює

$\Phi _{0}={\frac {\pi \hbar c}{|e|}}=2.067833636\cdot 10^{-7}$ Гс·см²  (СГС)     та     $\Phi _{0}={\frac {\hbar \pi }{|e|}}=2.067833636\cdot 10^{-15}$ В·с (СІ).

де $\hbar$ — приведена стала Планка, c — швидкість світла, e — елементарний заряд. Величина, обернена до кванту магнітного потоку називається сталою Джозефсона

$K_{J}=1/\Phi _{0}=483597.9\times 10^{9}$ Гц·В^-1 (СІ).

Явище квантування магнітного потоку в надпровідниках було теоретично передбачене Фріцом Лондоном в 1948 році й зафіксовано експериментально в 1961 році американськими та німецькими дослідниками.

Фізична природа

Електричний струм в надпровідному колі протікає без втрат і не загасає. Проте квантова природа надпровідного стану вимагає, щоб при обході кола хвильова функція надпровідника змінювала свою фазу на число кратне $2\pi$. Ця вимога призводить до квантування струму в колі. Квантується також і магнітне поле, яке створене цим струмом. Якщо дискретні значення струму залежать від довжини кола, то магнітний потік завжди пропорційний певній сталій, яка отримала назву кванту магнітного потоку.

$\Phi =n\Phi _{0}\,$,

де n — певне квантове число, яке може мати лише цілі значення.

Квантовані значення струму:

$J={\frac {\pi \hbar c^{2}}{|e|L}}n$  (СГС)     та     $J={\frac {\pi \hbar }{|e|L}}n$   (СІ)

де L — індуктивність зразку.

Математичний опис

Густина надпровідного струму у випадку надпровідника у магнітному полі може бути подана у вигляді (розгляд задачі проводиться в системі СІ) узагальненого другого рівняння Лондонів:

$\mathbf {j} ={\frac {e\hbar }{m}}\left(\nabla \theta -{\frac {2e}{\hbar }}\mathbf {A} \right)\rho ~,$

де $\mathbf {A}$- векторний потенціал магнітного поля, $\theta \$- фаза хвильової функції, m - маса електрона, а $\rho =|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\$- густина носіїв надпровідного струму.

Нехай надпровідник з отвором знаходиться при температурі вищій за критичну, тобто він знаходиться в нормальному а не в надпровідному стані. Якщо до нього прикласти зовнішнє магнітне поле перпендикулярно до площини отовору, а потім знизити температуру нижче критичної, то магнітне поле виштовхнеться із тіла надпровідника й лише в отоворі залишиться деякий потік магнітного поля.

Якщо проінтегрувати рівняння для надпровідного струму вздовж деякого замкненого контуру $\Gamma$, що охоплює отвір, але проходить достатньо далеко від краю отвору (на відстані, що значно перевищує лондонівську глибину проникнення), то, маючи на увазі, що $\mathbf {j} =0$ в силу віддаленості від країв надпровідника, отримуємо наступне співвідношення:

$\oint _{\Gamma }\mathbf {\nabla } \theta \,d\mathbf {l} ={\frac {2e}{\hbar }}\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,d\mathbf {l}$.

Оскільки $\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,d\mathbf {l} =\Phi$ є за визначенням магнітним потоком через площу, яку охоплює контур $\Gamma$, отримуємо

$\Phi ={\frac {\Phi _{0}}{2\pi }}\oint _{\Gamma }\nabla \theta \,d\mathbf {l} =n\Phi _{0}~.$

де $n=0,1,2,3,...$- число квантів магнітного потоку. З вищенаведеного випливає, що функція $\theta (\mathbf {r} )$ є багатозначною, оскільки вона змінюється на певну величину після кожного обходу по контуру $\Gamma$. З іншого боку хвильова функція надпровідного конденсату $\Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\rho }}e^{i\theta (\mathbf {r} )}$ є однозначною функцією. Якщо ж при обході контуру та поверненні у вихідну точку фаза $\theta (\mathbf {r} )$ може змінитися на величину, кратну числу $2\pi$, то хвильова функція загалом залишиться незмінною, оскільки $e^{2i\pi n}=1$.

Переписавши вираз для надпровідного стуму та проінтегрувавши його по контуру можна ввести величину

$\Phi '\equiv {\frac {\hbar }{2e}}\oint _{\Gamma }\mathbf {\nabla } \theta \,d\mathbf {l} =\Phi +{\frac {m}{2e^{2}}}\oint _{\Gamma }{\frac {\mathbf {j} d\mathbf {l} }{|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}}}~,$

яку Фріц Лондон назвав флюксоїдом. Для розглянутого вище випадку надпровідникового зразку з тороїдальною геомерією флюксоїд збігається з потоком магнітного поля через поверхню внаслідок занулення струму $\mathbf {j}$ в другому доданку. Якщо цей струм не можна вважати рівним нулеві, зокрема в надпровідниках II-ого роду, то слід враховувати обидва доданки.

Вимірювання для ефекту Джозефсона

Ефект квантування магнітного потоку є основою функціонування СКВІДів (надпровідних квантових інтерферометрів) - приладів, за допомогою яких вимірюють магнітні поля, зокрема надзвичайно слабкі.

При нестаціонарному ефекті Джозефсона наявність напруги на переході $V_{0}$ приводить до випромінювання з кутовою частотою:

$\omega _{0}={\frac {e}{\hbar }}V_{0}$.

Якщо на перехід подати змінний сигнал, то на вольт-амперній характеристиці можна виявити східці. Іншими словами, частота випромінювання $\omega _{0}$ повиння бути кратною до частоти зовнішнього змінного сигналу $\omega$, тобто:

$\omega _{0}=n\omega \$

$n=1,2,...\$

Таким чином, значення напруг, при яких з'являються східці, рівні:

$V_{0n}=n{\frac {\hbar }{e}}\omega$

$n=1,2,...\$.

Точки, поставлені після $n=1,2$, слід сприймати цілком серйозно, оскільки $n$ може досягати досить великих значень - понад сотню. Точність вимірювання повністю визначається точністю задання напруги $V_{0}$, оскільки точність вимірювання частот на сьогоднішній день є надзвичайно висока.

Магнітне поле може проникати в довгий контакт Джозефсона також у вигляді квантів $\Phi _{0}$. Результатом такого проникнення є утворення так званих джозефсонівських вихорів або флуксонів, що є солітонами.

Див. також

• Надпровідність
• Ефект Джозефсона

Література

• V.V. Schmidt (1997). P. Müller, A.V. Ustinov (ред.). The Physics of Superconductors. Introduction to Fundamentals and Applications (англійська) . Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 3-540-61243-2. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)

• M. Tinkham (1996). Introduction to Superconductivity (англійська) (вид. 2d ed.). New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0070648786. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)

• Д. Р. Тилли, Дж. Тилли (1977). Сверхтекучесть и сверхпроводимость (російська) . Москва: Мир. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)

• Л. Солимар (1974). Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение (російська) . Москва: Мир. с. 428. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)