Лінійно незалежні вектори

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють нетривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Визначення

Якщо $V \!$ векторний простір над полем $K \!$ і множина векторів $M \subseteq V \!$.

• $M \!$ називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
• Скінченна множина $\ M' = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:

$\forall a_1, \cdots, a_n \in K: \quad a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \ldots + a_n\mathbf{v}_n = 0 \quad \iff \quad a_1=a_2=\cdots=a_n=0.$

• Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним $a_i \neq 0 \!$, то $M' \!$ називається лінійно залежною.

Властивості

• Якщо $0 \in M \!$, то $M \!$ є лінійно залежна.
• Якщо $M \!$ лінійно незалежна, то $M' \!$ лінійно незалежна для всіх $M' \subseteq M$.
• Якщо $M \!$ лінійно залежна, то $M' \!$ лінійно залежна для всіх $M' \supseteq M$.

Застосування

• Система лінійних алгебраїчних рівнянь має однозначний розв'язок тоді і тільки тоді, коли стовпці її матриці є лінійно незалежними.

• Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.

• Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.

• Геометричний зміст:
  • Вектори $\vec{a},\;\vec{b}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
  • Вектори $\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.