Подвоєння куба

Подвоєння куба або Делійська задача — класична антична задача на побудову циркулем та лінійкою ребра куба, об'єм якого вдвічі більший за об'єм заданого куба.

Разом з трисекцією кута та квадратурою круга, є однією з найвідоміших нерозв'язних задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки.

Легенда

Згідно з античною легендою, якось на острові Делос почалася епідемія чуми. Мешканці острова звернулись до дельфійського оракула, і той повідомив, що необхідно подвоїти жертовне святилище, яке мало форму куба. Мешканці Делоса спорудили ще один такий же куб і поставили його на перший, але епідемія не припинилася. Після повторного звернення оракул роз'яснив, що подвоєний жертовник також повинен мати форму куба.

З того часу дельфійською задачею займались найкращі математики античного світу, було запропоновано декілька розв'язків, але ніхто не зміг виконати таку побудову, використовуючи тільки циркуль і лінійку.

Спроби розв'язку

• Гіппократ Хіоський (кінець V ст. до н. е.) показав, що задача зводиться до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком та другим, вдвічі більшим за нього. У сучасних позначеннях — до знаходження $x$ та $y$ таких, що

  ${\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{2a}}$. Звідси $x^{3}=2a^{3}$.

• Архіт Тарентський (початок IV ст. до н. е.) запропонував розв'язок, заснований на перетині тора, конуса та кругового циліндра.

• Платон (перша половина IV ст. до н. е.) запропонував механічний розв'язок, заснований на побудові трьох прямокутних трикутників з потрібним співвідношенням сторін.

• Менехм (середина IV ст. до н. е.) знайшов два розв'язки цієї задачі, засновані на використанні конічних перетинів. У першому розв'язку відшукується точка перетину двох парабол, а у другому — параболи та гіперболи.

• Ератосфен (III ст. до н. е.) запропонував ще один розв'язок, в якому використовується спеціальний механічний інструмент — мезолябія, а також описав розв'язок своїх попередників.

• Нікомед (II ст. до н. е.) використовував для розв'язку цієї задачі метод вставки, яка виконується за допомогою спеціальної кривої — конхоїди.

• Група схожих між собою розв'язків, які належать Аполлонію, Філону Візантійському та Герону, також використовує метод вставки.

• У ще одній групі схожих між собою розв'язків, які належать Діоклу, Паппу та Спору, використовується та ж ідея, що й у розв'язку Платона, при цьому Діокл застосовує для побудови спеціальну криву — цисоїду.

Свої розв'язки також запропонували Вієт, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Нерозв'язність

У сучасних позначеннях, задача зводиться до розв'язку рівняння $x^{3}=2a^{3}$. Розв'язок має вигляд $x=a{\sqrt[{3}]{2}}$. Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною ${\sqrt[{3}]{2}}$.

Ванцель довів у 1837 році, що ця задача не може бути розв'язана за допомогою циркуля та лінійки.

Див. також

• Невсіс

Література

• Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
• Глейзер Г. І. Історія математики у школі. — М. : Просвіта, 1964.
• Щетников А. І. Як було знайдено деякі розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3—15.