Подвоєння куба

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Подвоєння куба - класична антична задача на побудову циркулем та лінійкою ребра куба, об'єм якого вдвічі більший за об'єм заданого куба.

Разом з трисекцією кута та квадратурою круга, є однією з найвідоміших нерозв'язних задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки.

Легенда[ред.ред. код]

Згідно з античною легендою, одного разу на острові Делос почалася епідемія чуми. Мешканці острова звернулись до дельфійського оракула, і той повідомив, що необхідно подвоїти жертовне святилище, яке мало форму куба. Мешканці Делоса спорудили ще один такий же куб та поставили його на перший, але епідемія не припинилася. Після повторного звернення оракул роз'яснив, що подвоєний жертовник також повинен мати форму куба.

З того часу дельфійською задачею займались найкращі математики античного світу, було запропоновано декілька розв'язків, але ніхто не зміг виконати таку побудову, використовуючи тільки циркуль та лінійку.

Спроби розв'язку[ред.ред. код]

  • Гіппократ Хіоський (кінець V ст. до н. е.) показав, що задача зводиться до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком та іншим, вдвічі більшим за нього. У сучасних позначеннях - до знаходження x та y таких, що
    \frac{a}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2a}. Звідси x^3=2a^3.
  • Платон (перша половина IV ст. до н. е.) запропонував механічний розв'язок, заснований на побудові трьох прямокутних трикутників з потрібним співвідношенням сторін.
  • Менехм (середина IV ст. до н. е.) знайшов два розв'язки цієї задачі, засновані на використанні конічних перетинів. У першому розв'язку відшукується точка перетину двох парабол, а у другому - параболи та гіперболи.
  • Ератосфен (III ст. до н. е.) запропонував ще один розв'язок, в якому використовується спеціальний механічний інструмент - мезолябія, а також описав розв'язок своїх попередників.
  • Нікомед (II ст. до н. е.) використовував для розв'язку цієї задачі метод вставки, яка виконується за допомогою спеціальної кривої - конхоїди.
  • У ще одній групі схожих між собою розв'язків, належачих Діоклу, Паппу та Спору, використовується та ж ідея, що і у розв'язку Платона, при цьому Діокл застосовує для побудови спеціальну криву - цисоїду.

Свої розв'язки також запропонували Вієт, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Нерозв'язність[ред.ред. код]

У сучасних позначеннях, задача зводиться до розв'язку рівняння x^3 = 2a^3. Розв'язок має вигляд x = a \sqrt[3] 2. Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною \sqrt[3] 2.

Ванцель довів у 1837 році, що ця задача не може бути розв'язана за допомогою циркуля та лінійки.

Література[ред.ред. код]