Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Мал. 1. Побудова цисоїди. Синя і червона лінії — гілки цисоїди. Цисоїда Діокла — плоска алгебрична крива третього порядку.
В декартовій системі координат , де вісь абсцис спрямована за
O
X
{\displaystyle OX}
O
Y
{\displaystyle OY}
O
A
=
2
a
{\displaystyle OA=2a}
коло . В точці
A
{\displaystyle A}
U
V
{\displaystyle UV}
O
{\displaystyle O}
O
F
{\displaystyle OF}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
O
{\displaystyle O}
F
M
{\displaystyle FM}
O
E
{\displaystyle OE}
O
F
{\displaystyle OF}
O
{\displaystyle O}
M
{\displaystyle M}
цисоїда Діокла . Дві гілки цієї лінії на мал. 1 показані синім і червоним кольорами.
Рівняння цисоїди в прямокутній системі координат записується так:
y
2
=
x
3
2
a
−
x
.
(
1
)
{\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)}
Рівняння цисоїди в полярній системі координат:
ρ
=
2
a
sin
2
φ
cos
φ
.
{\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.}
Іноді рівняння цисоїди в полярній системі координат записують так:
ρ
=
2
a
(
1
−
cos
2
φ
)
cos
φ
=
{\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=}
=
2
a
(
1
cos
φ
−
cos
φ
)
=
{\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=}
=
2
a
(
sec
φ
−
cos
φ
)
.
{\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).}
Параметричне рівняння цисоїди:
x
=
2
a
u
2
1
+
u
2
,
{\displaystyle x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},}
y
=
2
a
u
3
1
+
u
2
,
{\displaystyle y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},}
де
u
=
t
g
φ
{\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi }
Вперше цисоїду досліджував грецький математик Діокл у II столітті до н. е. Діокл будував криву так: знаходиться точка
P
{\displaystyle P}
E
{\displaystyle E}
B
D
{\displaystyle BD}
P
{\displaystyle P}
M
{\displaystyle M}
O
E
{\displaystyle OE}
D
O
B
{\displaystyle DOB}
D
O
B
{\displaystyle DOB}
E
A
D
{\displaystyle EAD}
плюща . Грецькою плющ — χισσος («хіссос»), від чого й походить назва кривої — «цисоїда».
В сучасному вигляді цисоїду відтворив французький математик Жиль Роберваль [ru] 1640 році . Пізніше цисоїду також досліджував голландський математик Слюз [ru]
Цисоїда симетрична відносно осі абсцис.
Цисоїда перетинає допоміжне коло в точках
B
{\displaystyle B}
D
{\displaystyle D}
Цисоїда має один касп і асимптоту
U
V
{\displaystyle UV}
x
=
2
a
{\displaystyle x=2a}
a
{\displaystyle a}
радіус допоміжного кола.
Цисоїда є евольвентою параболи з каспом у вершині параболи. При цьому директриса параболи є асимптотою цисоїди.[1] Площа між цисоїдою і асимптотою [ ред. | ред. код ] Ця площа дорівнює:
S
1
=
3
π
a
2
.
{\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}
Виведення
Площа, охоплена гілками цисоїди
K
O
L
{\displaystyle KOL}
U
V
{\displaystyle UV}
S
1
{\displaystyle S_{1}}
O
L
{\displaystyle OL}
y
=
x
3
2
a
−
x
.
(
2
)
{\displaystyle y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)}
Половина площі, укладеної між цисоїдою і асимптотою, дорівнює інтегралу від рівняння (2) в межах від 0 до
2
a
{\displaystyle 2a}
1
2
S
1
=
∫
0
2
a
x
3
2
a
−
x
d
x
.
(
3
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)}
Підстановка:
u
2
=
2
a
−
x
,
x
=
2
a
−
u
2
,
d
x
=
−
2
u
d
u
.
{\displaystyle u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.}
Межі інтегрування:
x
=
0
⇒
u
=
2
a
,
x
=
2
a
⇒
u
=
0.
{\displaystyle x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.}
Інтеграл (3) перетворюється до вигляду:
1
2
S
1
=
−
2
∫
2
a
0
(
2
a
−
u
2
)
3
d
u
=
{\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=}
=
−
2
(
u
8
(
10
a
−
2
u
2
)
2
a
−
u
2
+
3
a
2
2
arcsin
u
2
a
)
|
2
a
0
=
3
π
a
2
2
.
{\displaystyle =\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.}
Отже:
1
2
S
1
=
3
π
a
2
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.}
S
1
=
3
π
a
2
.
{\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}
Об'єм тіла обертання [ ред. | ред. код ] Об'єм (
V
1
{\displaystyle V_{1}}
O
L
{\displaystyle OL}
V
1
=
π
∫
0
2
a
x
3
2
a
−
x
d
x
=
{\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=}
=
π
∫
0
2
a
(
−
x
2
−
2
a
x
−
4
a
2
+
8
a
3
2
a
−
x
)
d
x
=
{\displaystyle =\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=}
=
−
44
π
a
3
3
−
8
π
a
3
(
ln
(
2
a
−
x
)
)
|
0
2
a
.
{\displaystyle =\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.}
Якщо
x
→
2
a
{\displaystyle x\to 2a}
ln
(
2
a
−
x
)
→
−
∞
{\displaystyle \ln(2a-x)\to -\infty }
V
1
→
∞
{\displaystyle V_{1}\to \infty }
