Принцип симетрії Шварца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Принцип симетрії Шварца (принцип симетрії, принцип Рімана — Шварца) — метод аналітичного продовження функцій комплексної змінної.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай функція f(z), є аналітичною (голоморфною) на деякій множині G \subset \mathbb C. Далі, нехай множина  F = \partial G \cap \mathbb R є непустою, і на цій множині функція приймає виключно дійсні значення.

Тоді можна здійснити аналітичне продовження функції  f з множини  G на більшу множину  G \cup F \cup \overline {G} , де  \overline {G} = \{z: \overline {z} \in G \} , за допомогою функції:

 F(z) = f(z) при  z \in G
 F(z) = \overline {f (\overline {z})} при  z \in \overline {G}

Узагальнення[ред.ред. код]

Припустимо, що задані області розширеної комплексної площини (сфери Рімана)  G_1, G_2 \subset \mathbb \overline {C} , далі,  \gamma_1 \subset G_1, \gamma_2 \subset G_2 — дуги кіл на сфері Рімана (колам на сфері Рімана відповідають кола та прямі лінії звичайної комплексної площини). Позначимо через  G_1^* область, яка симетрична  G_1 щодо  \gamma_1 , аналогічно визначається  G_2^* . Для визначення симетрії щодо кола використовується поняття інверсії. Тепер, якщо  f аналітично (голоморфно) відображає  G_1 на  G_2 , притому  f (\gamma_1) = \gamma_2 , тоді  f може бути аналітично продовжена до аналітичного відображення  G_1 \cup \gamma_1 \cup G_1^* на  G_2 \cup \gamma_2 \cup G_2 ^ * . Таке продовження є єдиним і визначається в такий спосіб: якщо z \in G_1, z \in G_1, z^* \in G_1^* є симетричними відносно \gamma_1 і f(z) = w \in G_2 то f(z^*) = w^*, де w^* є симетричним до w відносно дуги \gamma_2.

Література[ред.ред. код]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.