Рівномірна неперервність

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

Означення [ред.]

Нехай дано два метричні простори $(X,\varrho_X)$ і $(Y,\varrho_Y)$ . Функція $f\colon X \to Y$ називається рівномірно неперервною на підмножині $M \subset X,$ якщо

$\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon\bigr)$ .

Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного $f:M \subset \R \to \R$ рівномірно неперервна, якщо

$\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr)$

Вибір $\delta$ у визначенні рівномірної неперервності залежить від $\epsilon$ , але не від $x_1,x_2.$ .

Властивості [ред.]

Функція, рівномірно неперервна на множині $M,$ неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, функція

$f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)$

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому $\varepsilon>0$ можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на $\varepsilon.$ Інший приклад: функція

$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$

неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки

$\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$

Для будь-якого $\varepsilon>0$ можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини $\varepsilon/x$ такий, що різниця значень функції $f(x)=x^2$ на кінцях відрізка буде більше $\varepsilon.$ Зокрема, на відрізку $\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$ різниця значень функції збігається до $2\varepsilon.$

(Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині $K\subset X,$ рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо $f\in C\bigl([a,b]\bigr),$ то вона рівномірно неперервна на $[a,b].$
Нехай $f\colon X \to Y$ це рівномірно неперервне відображення, і $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — послідовність Коші в $X.$ Тоді $\bigl\{f(x_n)\bigr\}_{n=1}^{\infty}$ — послідовність Коші в $Y.$
Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.