Рівномірна неперервність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

Означення[ред.ред. код]

Нехай дано два метричні простори (X,\varrho_X) і (Y,\varrho_Y). Функція f\colon X \to Y називається рівномірно неперервною на підмножині M \subset X, якщо

\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon\bigr).

Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного f:M \subset \R \to \R рівномірно неперервна, якщо

\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr)

Вибір \delta у визначенні рівномірної неперервності залежить від \epsilon, але не від x_1,x_2..

Властивості[ред.ред. код]

  • Функція, рівномірно неперервна на множині M, неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, функція
f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому \varepsilon>0 можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на \varepsilon. Інший приклад: функція

f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)

неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки

\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.

Для будь-якого \varepsilon>0 можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини \varepsilon/x такий, що різниця значень функції f(x)=x^2 на кінцях відрізка буде більше \varepsilon. Зокрема, на відрізку \left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right) різниця значень функції збігається до 2\varepsilon.

Дивись також[ред.ред. код]