Сфера Рімана

Сфера Рімана — ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині $\widehat{\C} = \C \cup \{\infty\},$ яка є комплексною проективною прямою $\C \mathbb P^1.$

Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері $\ S^2.$

Координати

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

• афінна комплексна координата z, яка приймає значення $\infty$;
• проективні комплексні координати $[z_0:z_1]$;
• тривимірні дійсні координати $\xi, \eta, \zeta$, пов’язані рівнянням:

$\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-1)^2 = 1$.

Сфера Рімана стереографічної проекції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

$z = \frac{z_1}{z_0}$

$z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.$

$(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z$ задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.

Перетворення Мебіуса

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай $\ a,b,c,d$ — матриця із $GL_2(\C)$. Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

$z' = \frac{az+c}{bz+d}$

Додаток

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов’язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту $\theta$ відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. $0<\theta<\pi/2$ (см. рис.)

В такому випадку вірні співвідношення:

$z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta$

$\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.$