Сфера Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сфера Ріманаріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині \widehat{\C} = \C \cup \{\infty\}, яка є комплексною проективною прямою \C \mathbb P^1.

Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері \ S^2.

Координати[ред.ред. код]

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-1)^2 = 1.
Сфера Рімана стереографічної проекції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

z = \frac{z_1}{z_0}
z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.
\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.

(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.

Перетворення Мебіуса[ред.ред. код]

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай \ a,b,c,d — матриця із GL_2(\C). Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

z' = \frac{az+c}{bz+d}

Додаток[ред.ред. код]

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов’язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту \theta відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. 0<\theta<\pi/2 (см рис.)

Blochsphere.svg

В такому випадку вірні співвідношення:

z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta
\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.

Примітки[ред.ред. код]