Розбиття одиниці

Розбиття одиниці — конструкція, що використовується в топології і диференціальній геометрії для зручності роботи з многовидами як множиною карт. З допомогою розбиття одиниці можна ввести Ріманову метрику на паракомпактному многовиді, як і означити інтеграл від диференціальної форми.

Конструкція

Нехай маємо локально-скінченне покриття $\{O_\alpha\}$ многовиду $M$, розбиттям одиниці по відношенню до $\{O_\alpha\}$ називається такий набір невід'ємних гладких функцій $\{f_\alpha\}$, для яких виконуються такі умови:

1. Опора функції $f_\alpha$ ( замикання множини всіх точок, де функція не рівна нулю) міститься в $O_\alpha$;
2. $0\le f_\alpha \le 1$;
3. Для будь-якої точки многовиду $x\in M$ маємо $\ \sum_{\alpha}{f_{\alpha}(x)=1}$.
   

Література

• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.