Поліноми Бернштейна

Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна-Вейєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.

Визначення

(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:

$b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.$

де $\binom{n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору $\Pi_n$ поліномів степеня n.

Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна

$B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)$

називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти $f\left(\frac{k}{n}\right)$ називаються коефіцієнтами Бернштейна.

Приклади

базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:

$b_{0,0}(x) = 1 \,$

$b_{0,1}(x) = 1-x \,$

$b_{1,1}(x) = x \,$

$b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,$

$b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,$

$b_{2,2}(x) = x^2 \ .$

Властивості

• Розбиття одиниці:

$\sum_{i=0}^k B_{k,n}(x) = 1$,

• Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:

$B_{k,n}(x) \geq 0 ,\in [0,1]$,

• Рекурентні відношення:

$B_{k,n}(x) = (1-x)B_{k,n-1}(x) + x B_{k-1,n-1}(x)$.

• Симетрія:

$B_{k,n}(x) = B_{n-k,n}(1-x)$

• Добуток поліномів:

$B_{k,n}(x) B_{j,m}(x)$ $= \frac{{n \choose k} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {k+j}} } B_{k+j,n+m}(x)$

• Похідна:

$\frac{d}{dt} B_{k,n}(x) = n \left( B_{k-1,n-1}(x) - B_{k,n-1}(x) \right)$ де приймається $B^n_i(x)=0$ для $i<0$ чи $i>n$

• Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:

$B_{k,n}(x) = \frac{n+1-k}{n+1} B_{k,n+1}(x) + \frac{k+1}{n+1} B_{k+1,n+1}(x)$

• Локальний максимум:

$B_{k,n}(x)\,$ має локальний максимум на проміжку $[0,1]\,$ у точці $x=\frac{i}{n}\,$. Дане значення рівне:

$\nu^{\nu}n^{-n}(n-\nu)^{n-\nu}{n\choose \nu}.$

Вираження $x^k$ через поліноми Бернштейна

Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:

$x^k = \sum_{i=k}^n \frac{i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots(n-k+1)} B_i^n(x), ~n\geq 3$

Апроксимація неперервних функцій

Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:

$B_n(f)(x) = \sum_{\nu=0}^{n} f\left(\frac{\nu}{n}\right) b_{\nu,n}(x).$

Тоді:

$\lim_{n\rightarrow\infty} B_n(f)(x)=f(x)$

рівномірно на проміжку [0, 1].

Див. також

• Крива Без'є