Поліноми Бернштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна-Вейєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.

Визначення[ред.ред. код]

(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:

b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.

де \binom{n}{k}біноміальний коефіцієнт.

Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору \Pi_n поліномів степеня n.

Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна

B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)

називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти f\left(\frac{k}{n}\right) називаються коефіцієнтами Бернштейна.

Приклади[ред.ред. код]

базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:

b_{0,0}(x) = 1 \,
b_{0,1}(x) = 1-x \,
 b_{1,1}(x) = x \,
b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,
b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,
 b_{2,2}(x) = x^2 \ .

Властивості[ред.ред. код]

  • Розбиття одиниці:
\sum_{i=0}^k B_{k,n}(x) = 1,
  • Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:
B_{k,n}(x) \geq 0 ,\in [0,1],
  • Рекурентні відношення:
B_{k,n}(x) = (1-x)B_{k,n-1}(x) + x B_{k-1,n-1}(x).
  • Симетрія:
B_{k,n}(x) = B_{n-k,n}(1-x)
  • Добуток поліномів:
B_{k,n}(x) B_{j,m}(x) = \frac{{n \choose k} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {k+j}} } B_{k+j,n+m}(x)
  • Похідна:
\frac{d}{dt} B_{k,n}(x) = n \left( B_{k-1,n-1}(x) - B_{k,n-1}(x) \right) де приймається B^n_i(x)=0 для i<0 чи  i>n
  • Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
B_{k,n}(x) = \frac{n+1-k}{n+1} B_{k,n+1}(x) + \frac{k+1}{n+1} B_{k+1,n+1}(x)
  • Локальний максимум:
B_{k,n}(x)\, має локальний максимум на проміжку [0,1]\, у точці x=\frac{i}{n}\,. Дане значення рівне:
\nu^{\nu}n^{-n}(n-\nu)^{n-\nu}{n\choose \nu}.

Вираження x^k через поліноми Бернштейна[ред.ред. код]

Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:

x^k = \sum_{i=k}^n \frac{i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots(n-k+1)} B_i^n(x), ~n\geq 3

Апроксимація неперервних функцій[ред.ред. код]

Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:

B_n(f)(x) = \sum_{\nu=0}^{n} f\left(\frac{\nu}{n}\right) b_{\nu,n}(x).

Тоді:

\lim_{n\rightarrow\infty} B_n(f)(x)=f(x)

рівномірно на проміжку [0, 1].

Див. також[ред.ред. код]