Розширення поля

Розширення поля — поле L для якого поле K є підполем. Для позначення факту, що поле L є розширенням поля K (і відповідно K є підполем L) використовується позначення L/K.

Типи розширень

Скінченні і нескінченні розширення

Довільне розширення L/K також є векторним простором над K. Розмірність цього векторного простору позначається [L : K].

• Скінченним розширенням називається розширення, що є скінченновимірним векторним простором над K.

• В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Алгебраїчні і трансцендентні розширення

Елемент з L, що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з K називається алгебраїчним в розширенні L/K. Елемент L, що не є алгебраїчним називається трансцендентним.

• Алгебраїчне розширення — розширення L/K, всі елементи якого є алгебраїчними над K.
• Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Прості і скінченнопороджені розширення

Якщо L/K — деяке розширення поля і S підмножина L, що не має спільних елементів з K то K(S) позначає найменше поле, що містить K і S.

• Просте розширення — розширення, породжене одним елементом E=K(α).
• Скінченно породжене розширення — розширення L, таке, в якому існують елементи α₁, ... α_n та L=K(α₁, ... α_n).

Нормальні, сепарабельні розширення

• Нормальне розширення — алгебраїчне розширення L, для якого кожен незвідний многочлен f(x) над K, що має хоч би один корінь в L, розкладається в L на лінійні множники.
• Сепарабельне розширення — алгебраїчне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) , над K для яких не має кратних коренів.
• Розширення Галуа — алгебраїчне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

Приклади

• Поле $\C$ комплексних чисел є скінченним і алгебраїчним розширенням поля $\R$ дійсних чисел. Дане розширення є розширенням Галуа і полем розкладу многочлена $\ x^2 + 1$. Воно є простим розширенням (породжуючим елементом є $\ i.$
• Поле $\R$ дійсних чисел є нескінченним, трансцендентним розширенням поля $\Q$ раціональних чисел. Прикладами трансцендентних елементів можуть бути, наприклад числа e і π.
• Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.
• Усі розширення полів характеристики 0 і скінченних полів є сепарабельними.

Література

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• Зарисский О., Самюэль П. (1963). Коммутативная алгебра. том I. Москва: ИЛ. с. 373. 
• Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .