Розширення поля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розширення поляполе L для якого поле K є підполем. Для позначення факту, що поле L є розширенням поля K (і відповідно K є підполем L) використовується позначення L/K.

Типи розширень[ред.ред. код]

Скінченні і нескінченні розширення[ред.ред. код]

Довільне розширення L/K також є векторним простором над K. Розмірність цього векторного простору позначається [L : K].

  • В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Алгебраїчні і трансцендентні розширення[ред.ред. код]

Елемент з L, що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з K називається алгебраїчним в розширенні L/K. Елемент L, що не є алгебраїчним називається трансцендентним.

  • Алгебраїчне розширення — розширення L/K, всі елементи якого є алгебраїчними над K.
  • Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Прості і скінченнопороджені розширення[ред.ред. код]

Якщо L/K — деяке розширення поля і S підмножина L, що не має спільних елементів з K то K(S) позначає найменше поле, що містить K і S.

Нормальні, сепарабельні розширення[ред.ред. код]

  • Нормальне розширення — алгебраїчне розширення L, для якого кожен незвідний многочлен f(x) над K, що має хоч би один корінь в L, розкладається в L на лінійні множники.
  • Сепарабельне розширення — алгебраїчне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) , над K для яких не має кратних коренів.
  • Розширення Галуа — алгебраїчне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]