Скінченний топологічний простір
Скінче́нний топологі́чний про́стір — топологічний простір, у якому існує лише скінченна кількість точок.
Попри те, що топологія переважно розглядає нескінченні простори, скінченні топологічні простори часто використовують як приклади та контрприклади. Вільям Терстон назвав скінченні топологічні простори «дивакуватою темою, що веде до розуміння багатьох питань»[1].
Способи задання топології[ред. | ред. код]
Топологію на скінченній множині можна визначити за допомогою часткового порядку
- ,
де позначає замикання множини .
І навпаки, за будь-яким частковим порядком на скінченній множині можна побудувати єдину топологію, що визначається цією властивістю.
Для визначення часткового порядку зручно використовувати орієнтований граф, де вершини — це точки простору, а існування висхідного шляху з в відповідає відношенню .
Приклади[ред. | ред. код]
- Зв'язна двоточка.
- Псевдоколо — чотириточковий простір, задаваний частковим порядком
- .
- Слабко гомотопічно еквівалентне колу.
- Зокрема, його фундаментальна група ізоморфна .
Властивості[ред. | ред. код]
- Особливою властивістю топологічних просторів є те, що замкнуті множини також визначають топологію. Цю нову топологію можна отримати оберненням часткового порядку, або, що те саме, оберненням орієнтації всіх ребер відповідного графа.
- Кожен скінченний топологічний простір є компактним.
- Скінченний -простір дискретний.
- Зокрема, будь-який скінченний гаусдорфів простір дискретний.
- Будь-який зв'язний скінченний топологічний простір лінійно зв'язний .
- Для будь-якого скінченного абстрактного симпліційного комплексу існує слабко гомотопічно еквівалентний йому скінченний топологічний простір[2].
- Зворотне також істинне: для будь-якого скінченного топологічного простору існує слабко гомотопічно еквівалентний йому скінченний симпліційний комплекс.
- У таблиці нижче перелічено кількість різних топологій на множині з елементів. Також наведено кількість нееквівалентних (тобто негомеоморфних) топологій. Для розрахунку цих чисел немає простої формули; в енциклопедії послідовностей цілих чисел нині переліки доходять до .
Н | Різних топологій |
Різних
Т0-топологій |
Нееквівалентним топологій |
Нееквівалентних Т0-топологій |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 3 | 3 | 2 |
3 | 29 | 19 | 9 | 5 |
4 | 355 | 219 | 33 | 16 |
5 | 6942 | 4231 | 139 | 63 |
6 | 209527 | 130023 | 718 | 318 |
7 | 9535241 | 6129859 | 4535 | 2045 |
8 | 642779354 | 431723379 | 35979 | 16999 |
9 | 63260289423 | 44511042511 | 363083 | 183231 |
10 | 8977053873043 | 6611065248783 | 4717687 | 2567284 |
ОЕІС | A000798 | A001035 | A001930 | A000112 |
- Число всіх -топологій на множині з точок і число усіх топологій пов'язує формула
Див. також[ред. | ред. код]
Посилання[ред. | ред. код]
- ↑ Thurston, William P. On Proof and Progress in Mathematics. — 1994. — Т. 30. — С. 161—177. — DOI:
- ↑ P. Alexandroff. «Diskrete Räume.» Матем. сб. 2 (1937), S. 501—519.
Література[ред. | ред. код]
- Stong, Robert E. Finite topological spaces // Transactions of the American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 123. — P. 325—340. — DOI: .
- Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volume 33, Number 3 (1966), 465—474.
- Barmak, Jonathan. Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications. — Springer, 2011. — ISBN 978-3-642-22002-9.
- Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. Topological Methods in Chemistry. — Wiley, 1989. — ISBN 978-0-471-83817-3.
|