Точка зламу

Точка зламу або кутова точка — особлива точка кривої, яка має властивість, що гілки кривої, на які ця точка ділить початкову криву, мають у цій точці різні (односторонні) дотичні. Функція не є гладкою в даній точці.

Кажуть, що функція має точку зламу, якщо графік функції має точку зламу. Функція має точку зламу, якщо вона має різні праву і ліву похідні, тобто, виконується нерівність $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f^{'}(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{+}}f^{'}(x)$ і хоча б одна з них скінченна (права або ліва границя не прямує до $\pm \infty$).

Точкою зламу функції $y=f(x)$ є критична точка першого роду в якій похідна функції має розрив (за винятком випадку нескінченних односторонніх похідних одного знака), тобто права і ліва похідні не збігаються. Точка зламу нерідко є точкою локального екстремуму, в тому випадку якщо похідні зліва і справа мають різні знаки.

Приклад: функція $y=|x|$

функція $y=|x|$ є неперервною в точці (0,0). Похідна дорівнює $y'=sgn(x)$, яка має розрив у точці (0,0). $f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1$ — права і ліва похідні не збігаються. Таким чином точка (0,0) є точкою зламу функції.

Функція $y=|x|$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)

Див. також

• Касп
• Диференційовна функція