Ядро та образ лінійного оператора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора \ L: V \to W

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина \ V:

\ker{(L)} = \{ v \in V: \; L(v)=0 \}
вона утворює лінійний підпростір в просторі \ V.

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина \ W:

\operatorname{im}(L)=\{ w \in W: \; w=L(v), v \in V \}
вона утворює лінійний підпростір в просторі \ W.

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: \operatorname{null}(L).

Властивості[ред.ред. код]

  • Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:
L(v) = L(w) \quad \iff \quad (v-w) \in \ker{(L)}.

Тобто образ L є ізоморфним до факторпростору в V утвореного ядром:

\text{im}(L) \cong V / \ker(L)\text{.}
(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

Простори скінченної розмірності і матриці[ред.ред. код]

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n: v \mapsto \mathbf{A}v.

Визначення ядра матриці записується як \ker{(\mathbf{A})} = \{ x \in V: \; \mathbf{A}x=0 \}, тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема[ред.ред. код]

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

 \dim(\ker {L}) + \dim(\operatorname{im}{\,L}) = \dim(V)

Число \dim(\operatorname{im}{\,L}) називається рангом  \ L і записується як \operatorname{rank}{(L)} чи \operatorname{rk}{(L)}.

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри[ред.ред. код]

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва Визначення Простір в якому існує Розмірність
простір стовпців чи образ im(A) чи range(A) \R^m r
нульпростір чи ядро ker(A) чи null(A) \R^n n — r
простір рядків чи кообраз(англ.) im(AT) чи range(AT) \R^n r
лівий нульпростір чи коядро(англ.) ker(AT) чи null(AT) \R^m m — r
  • В \R^n \;\; \ker{(A)} = (\mathrm{im}(A^T))^\perp, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
  • В \R^m \;\; \ker{(A^T)} = (\mathrm{im}(A))^\perp, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]