Ядро та образ лінійного оператора

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора $\ L: V \to W$

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина $\ V$:

$\ker{(L)} = \{ v \in V: \; L(v)=0 \}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі $\ V.$

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина $\ W$:

$\operatorname{im}(L)=\{ w \in W: \; w=L(v), v \in V \}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі $\ W.$

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: $\operatorname{null}(L).$

Властивості

• Два елементи з V мають одинаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:

$L(v) = L(w) \quad \iff \quad (v-w) \in \ker{(L)}.$

Тобто образ L є ізоморфним до факторпростору в V утвореного ядром:

$\text{im}(L) \cong V / \ker(L)\text{.}$

(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

• Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.

Простори скінченної розмірності і матриці

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n: $v \mapsto \mathbf{A}v.$

Визначення ядра матриці записується як $\ker{(\mathbf{A})} = \{ x \in V: \; \mathbf{A}x=0 \}$, тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

$\dim(\ker {L}) + \dim(\operatorname{im}{\,L}) = \dim(V)$

Число $\dim(\operatorname{im}{\,L})$ називається рангом $\ L$ і записується як $\operatorname{rank}{(L)}$ чи $\operatorname{rk}{(L)}.$

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	$\R^m$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	$\R^n$	n — r
простір рядків чи кообраз(англ.)	im(AT) чи range(AT)	$\R^n$	r
лівий нульпростір чи коядро(англ.)	ker(AT) чи null(AT)	$\R^m$	m — r

• В $\R^n \;\; \ker{(A)} = (\mathrm{im}(A^T))^\perp$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В $\R^m \;\; \ker{(A^T)} = (\mathrm{im}(A))^\perp$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Дивись також

• Проекційна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). «III». Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.