Ізогональне спряження

Точки $P$ та $P^{*}$ ізогонально спряжені

Перетворення над точками всередині трикутника

Ізогональне спря́ження — геометричне перетворення, що отримується відображенням прямих, поєднуючих початкові точки з вершинами заданого трикутника відносно бісектрис кутів трикутника.

Означення

Точки $P$ і $P^{*}$ називаються ізогонально спряженими (застаріла назва — ізогональними) в трикутнику $\triangle ABC$, якщо $\angle ABP=\angle CBP^{*}$, $\angle BAP=\angle CAP^{*}$, $\angle BCP=\angle ACP^{*}$. Коректність цього означення можна довести через теорему Чеви в синусній формі, існує також чисто геометричне доведення коректності означення. Ізогональне спряження — перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально спряжену до неї. На всій площині окрім прямих, що містять сторони трикутника, ізогональне спряження є взаємно-однозначним відображенням.

Властивості

• Ізогональне спряження залишає на місці лише центри вписаного і зовнівписаних кіл.
• Точка, ізогонально спряжена точці на описаному колі — нескінченно віддалена. Напрямок, який задає ця точка, перпендикулярний прямій Сімсона цієї точки.
• Якщо точки $P_{a}$, $P_{b}$, $P_{c}$ симетричні точці $P$ відносно сторін трикутника, то центр описаного кола $P_{a}P_{b}P_{c}$ ізогонально спряжений до точки $P$.
• Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально спряжені.
• Проєкції ізогонально спряжених точок на сторони лежать на одному колі (вірно і зворотне). Центр цього кола — середина відрізка між точками.
• Образ прямої при ізогональному спряженні — коніка, описана навколо трикутника.
• Якщо коніка $\alpha$ ізогонально спряжена до прямої $l$, то трилінійні поляри всіх точок на $\alpha$ будуть проходити через точку, ізогонально спряжену трилінійному полюсу $l$.

Пари ізогонально спряжених точок

• Центр описаного кола та ортоцентр.
• Точка перетину медіан та точка Лемуана.
• Точки Брокара
• Точка Аполлонія та точка Ферма.

Координатний запис

В барицентричних координатах ізогональне спряження записується так:

$(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac {c^{2}}{z}}\right)\,$,

де $a$, $b$, $c$ — довжини сторін трикутника. В трилінійних координатах його запис має форму:

$(x:y:z)\ \mapsto ({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}})$,

тому вони зручні при роботі з ізогональним спряженням.

Див. також

• Ізотомічне спряження

Наслідки

• З ізогонального спряження можна вивести теорему Паскаля.