Ізогональне спряження

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Точки та ізогонально спряжені
Перетворення над точками всередині трикутника

Ізогональне спряження — геометричне перетворення, що отримується відображенням прямих, поєднуючих початкові точки з вершинами заданого трикутника відносно бісектрис кутів трикутника.

Означення[ред.ред. код]

Точки и називаються ізогонально спряженими (застаріла назва — ізогональними[1]) в трикутнику , якщо , , . Коректність цього означення можна довести через теорему Чеви в синусній формі, існує також чисто геометричне доведення коректності означення. Ізогональне спряження — перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально спряжену до неї. На всій площині окрім прямих, що містять сторони трикутника, ізогональне спряження є взаємно-однозначним відображенням.

Властивості[ред.ред. код]

  • Ізогональне спряження залишає на місці лише центри вписаного і зовнівписаних кіл.
  • Точка, ізогонально спряжена точці на описаному колі — нескінченно віддалена. Напрямок, який задає ця точка, перпендикулярний прямій Сімсона цієї точки.
  • Якщо точки , , симетричні точці відносно сторін трикутника, то центр описаного кола ізогонально спряжений до точки .
  • Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально спряжені.
  • Проекції ізогонально спряжених точок на сторони лежать на одному колі (вірно і зворотнє). Центр цього кола — середина відрізка між точками.
  • Образ прямої при ізогональному спряженні — коніка, описана навколо рикутника.
  • Якщо коніка ізогонально спряжена до прямої , то трилінійні поляри всіх точок на будуть проходити через точку, ізогонально спряжену трилінійному полюсу .

Пари ізогонально спряжених точок[ред.ред. код]

Координатний запис[ред.ред. код]

В барицентричних координатах ізогональне спряження записується так:

,

де , ,  — довжини сторін трикутника. В трилінійних координатах його запис має форму:

,

тому вони зручні при роботі з ізогональним спряженням.

Наслідки[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902