Ізопериметричне відношення
Ізопериметричне відношення для простої замкнутої кривої на евклідовій площині дорівнює відношенню L2/A, де L — довжина кривої, A — її площа. Ізопериметричне відношення безрозмірна величина і не змінюється під час перетворень подібності.
З розв'язку ізопериметричної задачі випливає, що значення ізопериметричного відношення найменше для кола і дорівнює . Для будь-якої іншої кривої ізопериметричне відношення має більше значення[1]. Отже, ізопериметричне відношення можна використати як показник того, наскільки крива відрізняється від кола.
Вкорочувальний потік зменшує ізопериметричне відношення будь-якої гладкої опуклої кривої так, що якщо крива в границі стає точкою, то ізопериметричне відношення прямує до [2].
Для геометричних тіл довільної розмірності можна визначити ізопериметричне відношення як Bd/Vd − 1, де B дорівнює площі поверхні тіла (тобто мірі його межі), V дорівнює об'єму тіла (тобто мірі внутрішньої ділянки)[3]. Іншими пов'язаними за змістом величинами є стала Чіґера для ріманового многовиду та стала Чіґера для графів[4].
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Berger, Marcel (2010), Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry, Springer-Verlag, с. 295—296, ISBN 9783540709978.
- ↑ Gage, M. E. (1984), Curve shortening makes convex curves circular, Inventiones Mathematicae, 76 (2): 357—364, doi:10.1007/BF01388602, MR 0742856.
- ↑ Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: An Introduction, Mathematical surveys and monographs, т. 110, American Mathematical Society, с. 157, ISBN 9780821835159.
- ↑ Grady, Leo J.; Polimeni, Jonathan (2010), Discrete Calculus: Applied Analysis on Graphs for Computational Science, Springer-Verlag, с. 275, ISBN 9781849962902.