Інтегральний логарифм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегральний логарифмспеціальна функція, що визначається для дійсних рівністю:

при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

Між двома функціями справедлива рівність:

Властивості[ред.ред. код]

  • При малих x:

Ei(x) співвідношеннями:

  • Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду
де стала Ейлера;
  • Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна змінна[ред.ред. код]

Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від - до 0 і від 1 до (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від - до ).

Застосування в теорії чисел[ред.ред. код]

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

де — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.