Теорема про розподіл простих чисел
Теорема про розподіл простих чисел — теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як , тобто
Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна .
Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки -го простого числа : вона стверджує, що
(тут і далі запис означає ).
Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція може бути наближена виразом , де — константа, близька до . Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм , проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій і , вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.
У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишов довів[1], що верхня M і нижня m границі відношення
задовольняють нерівності , а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.
У 1859 році з'явилася робота Рімана, в якій він розглянув (введену Ейлером як функцію дійсного аргументу) -функцію в комплексній області, і пов'язав її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно довели теорему про розподіл простих чисел.
Нарешті, в 1949 році з'явилося доведення Ердеша—Сельберга, що не застосовує понять комплексного аналізу.
Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишова, що визначається як
іншими словами, псі-функція Чебишова це сума функції фон Мангольдта:
А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що
Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка , а внесок квадратів, кубів, і т. д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми приблизно рівні , і функція асимптотично рівна .
Як випливає з тотожності Ейлера
ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:
Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції рівний при і 0 при . Тому, множення правої і лівої частини на й інтегрування по вертикальній прямій по залишає в лівій частині суму з . З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю дзети-функції відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, із лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці — полюс першого порядку з лишком, рівним .
Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати[2] явну формулу Рімана[3]:
де сума обчислюється по нулях дзета-функції, що лежать у смузі , доданок відповідає полюсу у нулі, а доданок — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції .
Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).
Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як
таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як
де і — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.
Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести у праву частину:
де — функція Мебіуса.
Сума лівої частини (**) — шукана функція . У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми де — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати як
де — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд для відповідним чином підібраної функції F (а саме ), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса
Оскільки залишається перевірити, що другий доданок має вигляд . Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження де — сума функції Мебіуса.
Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції .
Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку
де — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку
Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції оцінюється краще, ніж асимптотика сум , дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку .
- ↑ Н. І. Ахієзер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие».
- ↑ Архівована копія (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 7 липня 2010. Процитовано 21 грудня 2010.
{{cite web}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання) - ↑ Weisstein, Eric W. Explicit Formula(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Zagier, Don (1997). Newman's short proof of the prime number theorem (PDF). American Mathematical Monthly. 104 (8): 705—708. doi:10.2307/2975232. JSTOR 2975232. Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 21 червня 2016. (англ.)
- Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques. [1] [Архівовано 5 серпня 2011 у Wayback Machine.], Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220.
- Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
- П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848
- П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850
- Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
- Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
- А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87