Теорема про розподіл простих чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про розподіл простих чисел - теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість \pi(n) простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як n/\ln n, тобто


\frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1, \quad n\to \infty.

Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна 1/\ln n.

Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки k-го простого числа p_k: вона стверджує, що


p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty

(тут і далі запис \ f\sim g означає f/g \to 1 ).

Історія[ред.ред. код]

Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція \pi(x) може бути наближена виразом x/(\ln(x)-B), де B=1.08... — константа, близька  1. Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм \mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx, проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій \pi(x) і x / \ln(x), вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.

У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишев доводить[1], що верхня M і нижня m границі відношення


\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad (*)

задовільняють нерівності 0.92129\le m\le M\le 1.10555, а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.

У 1859 році з'являється робота Рімана, що розглядає (введену Ейлером як функцію дійсного аргумента) \zeta-функцію в комплексній області, і що пов'язує її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно доводять теорему про розподіл простих чисел.

Нарешті, в 1949 році з'являється доведення Ердеша-Сельберга, що не використовує понять комплексного аналізу.

Загальний хід доказу[ред.ред. код]

Переформулювання в термінах псі-функції Чебишева[ред.ред. код]

Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишева, що визначається як


\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p   \qquad \qquad (*)

іншими словами, псі-функція Чебишева це сума функції фон Мангольдта:


\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad
\Lambda(n)=
\begin{cases} 
\log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\
0, & \text{otherwise}.
\end{cases}

А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що


\psi(x)\sim x \quad x\to \infty.

Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка [1,n], а внесок квадратів, кубів, і т.д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми \ln p приблизно рівні \ln x, і функція \psi(x) асимптотично рівна \pi(x) \cdot \ln x.

Класичні міркування: перехід до дзета-функції Рімана[ред.ред. код]

Як випливає з тотожності Ейлера


\zeta(s)=\prod_p \frac{1}1-p^{-s}

ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:


\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.

Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції a^s/s рівний 2\pi i при a>1 і 0 при 0<a<1. Тому, множення правої і лівої частини на \frac{1}{2\pi i} x^s/s і інтегрування по вертикальній прямій по ds залишає в лівій частині суму \Lambda(n) з n\le x. З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю функції дзети відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, з лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці s=1 — полюс першого порядку з лишком, рівним (-1).

Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати[2] явну формулу Рімана[3]:


\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<Re(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)

де сума обчислюється по нулях \rho дзета-функції, що лежать в смузі 0<Re(s)<1, доданок -\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} відповідає полюсу x^s/s у нулі, а доданок -\log(1-x^{-2})/2 — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції s=-2,-4,-6,\dots.

Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність \psi(x)\sim x\ (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).

Елементарне доведення: завершення Ердеша-Сельберга[ред.ред. код]

Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як


\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p

таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як


\ln = \Lambda * \mathbf{1},

де \ln і \mathbf{1} — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.

Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести \mathbf{1} у праву частину:


\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**)

де \muфункція Мебіуса.

Сума лівої частини (**) — шукана функція \psi. У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми \sum_k L(n/k)\mu(k), де L — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати L(n) як


L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),

де \gammaстала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд \sum_k F(n/k) для відповідним чином підібраної функції F (а саме F(x)=x-\gamma-1), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса


\Lambda = F + \sum_k R(n/k)\mu(k).

Оскільки F(x)\sim x, залишається перевірити, що другий доданок має вигляд o(x). Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження M(x)=o(x), де M(x)=\sum_{n\le x} \mu(n) — сума функції Мебіуса.

Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції 1/n.

Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку


\mu'=-\mu*\Lambda,

де f'(n)=f(n)\cdot \ln n — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку


\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').

Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції \Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda оцінюється краще, ніж асимптотика сум \Lambda, дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку M(x)=o(x).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Н. І. Архиезер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие».
  2. http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf
  3. {MathWorld|urlname=ExplicitFormula|title=Explicit Formula}

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література[ред.ред. код]

  • Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction \zeta(s) et ses conséquences arithmétiques. [1], Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220.
  • Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
  • П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848
  • П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850
  • Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
  • Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
  • А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87