Інтегральне рівняння

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію $f(x).$

Визначення

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію $f(x).$ Нехай $F(x)$ та $K(x,y)$ - відомі функції. Інтегральні рівняння мають вигляд

$F(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy;$

або

$f(x)=\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy,$

де $\lambda \in (\mathbb {C} \lor \mathbb {R} )$ - чисельний множник. Функція $K(x,y)$ під інтегралом називається ядром інтегрального рівняння і повинна бути визначена у прямокутнику $a\leq x\leq b,\,\,\,a\leq y\leq b.$ Функції $F(x)$ та $f(x)$ повинні бути визначені у інтервалі $a\leq x\leq b.$

Інтегральне рівняння є лінійним, якщо невідома функція входить до нього лінійно. Обидва вищенаведені рівняння є лінійними. Якщо обидві границі інтегрування сталі, то рівняння називається інтегральним рівнянням Фредгольма. Рівняння, до якого невідома функція входить лише під знаком інтегралу, визначають як інтегральне рівняння першого роду. Перше з вищенаведених рівнянь є інтегральним рівнянням першого роду. Інтегральне рівняння другого роду - це рівняння, у якому невідома функція присутня як під знаком інтегралу, так і поза ним; друге з вищенаведених рівнянь - приклад такого рівняння.

Якщо рівняння таке, що кожний член містить невідому функцію, то воно представляє собою однорідне інтегральне рівняння. Якщо у рівняння входить член, який не містить невідому функцію, то воно є неоднорідним. Друге з вищенаведених рівнянь є прикладом однорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Рішення інтегрального рівняння базується на оберненні першого лінійного інтегрального виразу з метою віднаходження $f(y)$ або на відшуканні функції $f(x)$, яка входить у друге рівняння.

Важливим рівнянням серед рівнянь першого роду є інтегральне рівняння Фур'є:

$F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(y)\exp(-ixy)\,dy.$

Ядром цього рівняння є $(1/{\sqrt {2\pi }})\exp(-ixy).$

Власні функції однорідного інтегрального рівняння із симетричним ядром є ортогональними. Це значить, що

$\int _{a}^{b}f_{n}(x)f_{m}(x)dx=0,\quad \quad n\neq m,$

де

$f_{n}(x)\lambda _{n}\int _{a}^{b}K(x,y)f_{n}(y)\,dy,$

$f_{m}(x)\lambda _{m}\int _{a}^{b}K(x,y)f_{m}(y)\,dy.$

Нехай $\lambda _{m}\neq \lambda _{n}$, помножимо $\lambda _{m}f_{m}\cdot f_{n}(x)$ та $\lambda _{n}f_{n}\cdot f_{m}(x),$ віднімемо одну рівність від іншої. Після інтегрування знаходимо

$(\lambda _{m}-\lambda _{n})\int _{a}^{b}f_{n}(x)f_{m}(x)dx=\lambda _{n}\lambda _{m}\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}[K(x,y)f_{n}(y)f_{m}(x)-K(x,y)f_{m}(x)f_{n}(x)]\,dy\,dx.$

Перша частина цієї рівності дорівнює нулю (якщо переставити змінні інтегрування у другій частині подвійного інтегралу із врахуванням того, що $K(x,y)=K(y,x)$). Оскільки $\lambda _{m}\neq \lambda _{n}$, то власні функції є ортогональними.

Основні види інтегральних рівнянь

Лінійні рівняння

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

$f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt$

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівняння

Рівняння Урисона

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).$

Стала $M$  — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,$

де $K(x,\;s)$ — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots$

Нелінійне Рівняння Вольтерра

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,$

де функція $F(x,\;s,\;\varphi )$ неперервна за всіма своїми змінними.

Див. також

• Теорія_Фредгольма

Література

• М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
• В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

Посилання

• ІНТЕГРА́ЛЬНІ РІВНЯ́ННЯ [Архівовано 23 квітня 2016 у Wayback Machine.] //ЕСУ