Ортогональність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий, and грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай  — прегільбертів простір. Елементи , називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто ; що позначається .[1]

Множина векторів називається ортогональною якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]

Якщо для системи векторів простору визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі[ред. | ред. код]

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі, два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто, кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції[ред. | ред. код]

Дві дійсні функції та є ортогональними одна щодо одної у інтервалі якщо

Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) для вектори є ортогональними, коли

У -вимірному просторі вектори ортогональні, якщо У -вимірному просторі, у якому мають неперервний розподіл, є неперервною змінною таким чином переходить у Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у -вимірному просторі. Інтеграл

визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.

Якщо дана похідна, неперервна на відрізку , функції і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій для якої існує то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції замінюється таким самим числом числом нових функцій які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто

Такий алгоритм має назву процесу Грама-Шмідта.

На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку замінюється на Функція має вигляд де отримується з умови Маємо

Таким чином, знаходячи перші функцій приходимо до функції яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції Відповідно,

- цей вираз можна помножити на й проінтегрувати отриманий вираз

Умова дає Щоб послідовно обчислити можна застосувати рівняння

Або через визначники можна записати

де - Визначник Грама для функції

Функції є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.

Посилання[ред. | ред. код]

  1. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 2. с. 331. 
  2. Кудрявцев Л. Д. с. 331

Див. також[ред. | ред. код]