Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.
Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.
Нехай
— прегільбертів простір. Елементи
,
називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто
; що позначається
.[1]
Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]
Якщо для системи векторів
простору
визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.
В Евклідовому просторі[ред. | ред. код]
В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.
В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.
Ортогональні функції[ред. | ред. код]
Дві дійсні функції
та
є ортогональними одна щодо одної у інтервалі
якщо
Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) для вектори
є ортогональними, коли
У
-вимірному просторі вектори ортогональні, якщо
У
-вимірному просторі, у якому
мають неперервний розподіл,
є неперервною змінною
таким чином
переходить у
Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у
-вимірному просторі. Інтеграл
визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.
Якщо дана похідна, неперервна на відрізку
, функції
і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій
для якої існує
то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю
Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції
замінюється таким самим числом числом нових функцій
які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто
Такий алгоритм має назву процесу Грама-Шмідта.
На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку
замінюється на
Функція
має вигляд
де
отримується з умови
Маємо
Таким чином, знаходячи перші
функцій
приходимо до функції
яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції
Відповідно,
- цей вираз можна помножити на
й проінтегрувати отриманий вираз
Умова
дає
Щоб послідовно обчислити
можна застосувати рівняння
Або через визначники можна записати
де
- Визначник Грама для функції
Функції
є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.