Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного. Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів .
Нехай
R
{\displaystyle R}
прегільбертів простір . Елементи
x
∈
R
{\displaystyle x\in R}
y
∈
R
{\displaystyle y\in R}
ортогональними , якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто
⟨
x
,
y
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle =0}
x
⊥
y
{\displaystyle x\perp y}
[1]
Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні , то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні .[2]
Якщо для системи векторів
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
R
{\displaystyle R}
визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.
В Евклідовому просторі [ ред. | ред. код ] В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан . Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.
В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.
Ортогональні функції [ ред. | ред. код ] Дві дійсні функції
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
a
≤
x
≤
b
,
{\displaystyle a\leq x\leq b,}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0.}
Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) два вектори
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
⋅
B
=
A
1
B
1
+
A
2
B
2
+
A
3
B
3
=
0.
{\displaystyle A\cdot B=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=0.}
У
n
{\displaystyle n}
∑
i
=
1
n
A
i
B
i
=
0.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=0.}
∞
{\displaystyle \infty }
A
i
,
B
i
{\displaystyle A_{i},B_{i}}
i
{\displaystyle i}
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(x),}
∑
i
=
1
n
A
i
B
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}}
∫
A
(
x
)
B
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int A(x)B(x)dx.}
∞
{\displaystyle \infty }
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
⋅
g
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f\cdot g}
визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.
Якщо дана похідна, неперервна на відрізку
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
i
(
x
)
,
{\displaystyle f_{i}(x),}
∫
a
b
|
f
i
(
x
)
|
2
d
x
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}|f_{i}(x)|^{2}dx,}
∑
i
=
1
n
c
i
f
i
(
x
)
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}f_{i}(x).}
ортогоналізації функції
f
1
(
x
)
,
f
2
,
.
.
.
,
f
n
(
x
)
,
.
.
.
{\displaystyle f_{1}(x),f_{2},...,f_{n}(x),...}
φ
1
(
x
)
,
φ
2
,
.
.
.
,
φ
n
(
x
)
,
.
.
.
,
{\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),...,}
φ
n
(
x
)
=
c
1
(
n
)
f
1
(
x
)
+
c
2
(
n
)
f
2
(
x
)
+
.
.
.
+
c
n
(
n
)
f
n
(
x
)
.
{\displaystyle \varphi _{n}(x)=c_{1}^{(n)}f_{1}(x)+c_{2}^{(n)}f_{2}(x)+...+c_{n}^{(n)}f_{n}(x).}
Такий алгоритм має назву процесу Грама — Шмідта .
На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку
∫
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}}
∫
C
.
{\displaystyle \int _{C}.}
φ
1
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{1}(x)}
a
f
1
(
x
)
,
{\displaystyle af_{1}(x),}
a
{\displaystyle a}
∫
a
b
φ
1
2
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1.}
φ
1
(
x
)
=
f
1
(
x
)
/
[
∫
a
b
|
f
1
(
x
)
|
2
d
x
]
1
/
2
.
{\displaystyle \varphi _{1}(x)=f_{1}(x)/[\int _{a}^{b}|f_{1}(x)|^{2}dx]^{1/2}.}
Таким чином, знаходячи перші
n
{\displaystyle n}
φ
1
(
x
)
,
φ
2
,
.
.
.
,
φ
n
(
x
)
,
{\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),}
φ
n
+
1
(
x
)
,
{\displaystyle \varphi _{n+1}(x),}
f
n
+
1
(
x
)
.
{\displaystyle f_{n+1}(x).}
φ
n
+
1
(
x
)
=
a
1
φ
1
(
x
)
+
a
2
φ
2
(
x
)
+
.
.
.
+
a
n
φ
n
(
x
)
+
f
n
+
i
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=a_{1}\varphi _{1}(x)+a_{2}\varphi _{2}(x)+...+a_{n}\varphi _{n}(x)+f_{n+i}(x)}
φ
i
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{i}(x)}
a
i
+
a
∫
a
b
f
n
+
1
(
x
)
φ
i
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle a_{i}+a\int _{a}^{b}f_{n+1}(x)\varphi _{i}(x)dx=0.}
Умова
∫
a
b
φ
1
2
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1}
a
.
{\displaystyle a.}
φ
1
(
x
)
,
φ
2
,
.
.
.
,
φ
n
(
x
)
,
{\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),}
φ
n
+
1
(
x
)
=
f
n
+
1
(
x
)
∑
i
=
1
n
[
∫
a
b
f
n
+
1
φ
i
d
x
]
φ
i
(
x
)
{
∫
a
b
[
f
n
+
1
(
x
)
−
∑
i
=
1
n
(
∫
a
b
f
n
+
1
φ
i
d
x
)
φ
i
(
x
)
]
2
d
x
}
1
/
2
.
{\displaystyle \varphi _{n+1}(x)={\frac {f_{n+1}(x)\sum _{i=1}^{n}[\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}dx]\varphi _{i}(x)}{\{\int _{a}^{b}[f_{n+1}(x)-\sum _{i=1}^{n}(\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}\,dx)\varphi _{i}(x)]^{2}dx\}^{1/2}}}.}
Або через визначники можна записати
φ
n
(
x
)
=
|
(
f
1
⋅
f
1
)
(
f
1
⋅
f
2
)
.
.
.
(
f
1
⋅
f
n
−
1
)
f
1
(
x
)
(
f
2
⋅
f
1
)
(
f
2
⋅
f
1
)
.
.
.
(
f
2
⋅
f
n
−
1
)
f
2
(
x
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
f
n
⋅
f
1
)
(
f
n
⋅
f
2
)
.
.
.
(
f
n
⋅
f
n
−
1
)
f
n
(
x
)
|
(
Δ
n
−
1
⋅
Δ
n
)
1
/
2
,
{\displaystyle \varphi _{n}(x)={\frac {\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n-1})&f_{1}(x)\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n-1})&f_{2}(x)\\...&...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n-1})&f_{n}(x)\end{vmatrix}}{(\Delta _{n-1}\cdot \Delta _{n})^{1/2}}},}
де
Δ
n
{\displaystyle \Delta _{n}}
Визначник Грама для функції
f
1
,
f
2
,
.
.
.
,
f
n
{\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}
Δ
n
=
|
(
f
1
⋅
f
1
)
(
f
1
⋅
f
2
)
.
.
.
(
f
1
⋅
f
n
)
(
f
2
⋅
f
1
)
(
f
2
⋅
f
1
)
.
.
.
(
f
2
⋅
f
n
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
f
n
⋅
f
1
)
(
f
n
⋅
f
2
)
.
.
.
(
f
n
⋅
f
n
)
|
.
{\displaystyle \Delta _{n}={\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n})\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n})\\...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n})\end{vmatrix}}.}
Функції
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
,
.
.
.
,
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)}
![{\displaystyle \varphi _{1}(x)=f_{1}(x)/[\int _{a}^{b}|f_{1}(x)|^{2}dx]^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c149701c6d06a1d89e9cbe570d19d12d259a55)
![{\displaystyle \varphi _{n+1}(x)={\frac {f_{n+1}(x)\sum _{i=1}^{n}[\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}dx]\varphi _{i}(x)}{\{\int _{a}^{b}[f_{n+1}(x)-\sum _{i=1}^{n}(\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}\,dx)\varphi _{i}(x)]^{2}dx\}^{1/2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4daae775574b9c17eaed4ed6e6e7472cb7b2fd73)
