Алгебричне розширення

Алгебричне розширення — розширення поля $\ L/K$, кожен елемент $\ \alpha$ якого є алгебричним над $\ K$, тобто існує многочлен $\ f(x)$ з коефіцієнтами з $\ K$ для якого $\ \alpha$ є коренем.

Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості

• Всі скінченні розширення алгебричні.

Для всіх трансцендентних елементів $\ \alpha ,$ елементи $\ 1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots$ є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.

• Для вежі полів $K\subseteq L\subseteq F$, розширення $F/K$ — алгебричне, тоді й лише тоді коли $F/L$ та $L/K$ є алгебричними.

Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a₁…a_n з L. Оскільки всі ці a_i алгебричні над K, то розширення K(a₁,…a_n) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a₁,…a_n) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.

• Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K^* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K^* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел $\mathbb {Q}$, а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел $\mathbb {C}$, то одержимо поле алгебраїчних чисел A.

• Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади

• Розширення $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$, тобто поле дійсних чисел як розширення раціональних чисел є трансцендентним. Дійсно множина алгебричних чисел є зліченною, а потужність множини дійсних чисел — континуум.
• Розширення $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ є алгебричним розширенням.

Див. також

• Степінь трансцендентності

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: Springer, 2006, ISBN 1852339861.